Astronomiya

Mərkəzin sabit amilinin tənliyi

Mərkəzin sabit amilinin tənliyi

Bu suallar Mərkəzin Denklemi də deyilən Zaman Denkleminin uzununa istiqaməti ilə əlaqədardır. Bəzi mənbələrdə tənlik belə görünür:

$ nu - M = 2 varepsilon sin M $ (1)

burada $ nu $ Günəşin Yerdən mövqeyinin həqiqi anomaliyasıdır, $ M $ Orta Anomaliyadır və $ varepsilon $ Yerin orbitinin ekssentrikliyidir (0.0167). $ nu - M $ Günəşin həqiqi bucağı ilə Yerin dairəsi dairəvi olsaydı mövcud olacaq bucaq arasındakı fərqdir.

Digər mənbələrdə aşağıdakı kimi görünən birinci dərəcəli təxmini var:

Zaman sapması (dəqiqə) = $ -7.655 sin d $ (2)

burada d ilin günüdür.

Çətinliyim bu iki tənliyi barışdırmaqdır. Mənbələrin heç biri əslində bu əlaqəni açıq şəkildə göstərmir. Fərqin açıların və zamanların konvertasiya olunması ilə əlaqəli olduğunu düşünürəm və nəticələrin nəticə verməməsi üçün müxtəlif yanaşmalara cəhd etdim. Kimsə mənə -7.655 dəqiqənin dəyərinin $ 2 varepsilon $ -dan necə əldə edilə biləcəyini söyləyə və ya aralarındakı əlaqəni göstərən bir mənbəyə yönəldə bilsəydi, bunu təqdir edərdim.

(Diqqət yetirin ki, həm (1) həm də (2) yaxınlaşmadır. Bu mərhələdə dəqiqləşdirmələr əlavə etmədən əvvəl vəziyyəti ən sadə şəkildə anlamağa çalışıram.


Tam cavabım yoxdur, amma 7.6 $ amilinin haradan gəldiyini bilirəm: $$ (2 × 0.0167) × (24 × 60) / (2 pi) bərabərdir. $$

0,0167 $ Yerin eksantrikliyindən gəlir və $ 2 faktoru yuxarıdakı tənlikdən gəlir. $ 24 × 60 $ günlərdən dəqiqələrə çevrilir və $ 2 pi $ tam çevrilişdəki radianların sayıdır.

Hələ də tam anlamadığım şey, bu koordinat dönüşümlərinin, xüsusən $ 2 pi $ ilə bölünməsinin niyə edilməsi lazım olduğudur.

Kömək üçün hər kəsə təşəkkür edirəm.

Redaktə edin: İndi bu cavabdakı hesablama üçün bir az daha yaxşı bir izahata sahibəm.2ε günah (M)orta anomaliyası olan bir gündə orta Günəşin günortadan sonra görünən Günəşin arxasında olduğu radianların sayıdırM. Bölməkamilfırlanma hissəsini verir Yerin (yəni bir gün). Nəticə a-dakı dəqiqə sayına vurulduqda sidereal gün(23×60+54)istədiyiniz əmsalı verir7.63345.


Qeyri-Harmonik Fourier Seriyası

2016, Joseph Fourier'in istilik keçiriciliyi və şüalanma problemlərinin trigonometrik sıra genişlənmələrindən istifadə edilməsinə dair fikirlərinin dərc olunmasının 200 illiyidir. İndi Fourier seriyası adlandırdığımız şey. Onun fikirləri 1822-ci ildə kitab şəklində ortaya çıxdı, lakin ilk olaraq 1816-cı ildə kitabın məzmununu təsvir edən Theorie de la Chaleur (Extrait) adlı bir kağızda ortaya çıxdı. Fourier & # 8217s işinə qayıtmaq uyğun gəlir. Tapılacaq daşlar var.

Kitabının 5. İstilik Analitik Nəzəriyyəsi (İngilis dilində tərcüməsi Alexander Freeman), möhkəm bir sferada istilik keçirilməsindən bəhs edir. Fourier, diferensial tənliyi həll edən bir sinus seriyası əldə edir. Bununla birlikdə, onun seriyası, k-nin müsbət tam ədədi olduğu sin (k * x) terminlərinin ağırlıqlı cəmi şəklində harmonik bir sıra deyil. Daha doğrusu, Fourier & # 8217s həlli indi harmonik olmayan bir sıra adlandırdığımız şeydir. Bu, b dəyərlərinin müsbət reallaşdığı sin (b * x) terminlərinin ağırlıqlı bir cəmidir və tam ədədlər kimi təqribən xaricə çıxır. B dəyərləri nədir? Bunlar b * cotan (b) = B şəklində bir tənliyin həllidir. Bu əsas rejimlər müəyyən bir problemin digər məhdudiyyətlərinə uyğun olaraq xətti birləşmədə toplana bilər.

B * cotan (b) = B tənliyini əvvəllər gördük. Bir ölçülü sonlu kvadrat quyusundakı bir kvant mexanikası problemindəki bağlı vəziyyət enerji səviyyələrinin həllidir.

Bu əyləncəyə bənzəyir. Fourier & # 8217s həlli çox ağıllıdır. William Thomson (Kelvin) bu mövzuda da çalışmış & Thomson'un ilk yayımladığı məqalənin mövzusudur. Kəşf etmək üçün çox şey var.

Bu mövzu ilə maraqlana biləcək hər kəs üçün yalnız bir fikir.

Ən xoş arzularımla,
Ken Roberts
08-Avqust 2016

ps. Fourier & # 8217s kitabı Dover tərəfindən yenidən nəşr edilmişdir. Archive.org veb saytı ilə də onlayndır.


Kainatdakı ən vacib tənlik

Əhatəsində Böyük Partlayışdan bu günə qədər olan kosmik tariximizin bir nümunəsidir. [+] genişlənən Kainat. İlk Friedmann tənliyi, inflyasiyadan Böyük Partlayışa qədər bu günə və gələcəyə qədər olan bütün dövrləri bu gün də mükəmməl bir şəkildə təsvir edir.

Keçən həftə Perimeter İnstitutu 14 alimdən ən sevdikləri tənliyin nə olduğunu və niyə olduğunu soruşduqları bir xüsusiyyət hazırladı. Müxtəlif tədqiqat sahələrindən, termodinamikadan təmiz riyaziyyata qədər bir çox möhtəşəm cavablar var idi. Bir çox insan, Newtonun məşhur cazibə qanunu kimi təməl tənliklərlə getdi F = mavə ya kvant hissəciklərini idarə edən Schrödinger tənliyi. Bu siyahıya daxil olma şərəfinə sahib oldum və verdiyim cavab bunların heç biri deyildi. Bunun əvəzinə seçdiyim tənlik çox spesifik bir tənlik idi: müəyyən bir şərtlər daxilində Eynşteynin Ümumi Nisbilikdən irəli gələn ilk Friedmann tənliyi.

Ethan Siegelin 2017-ci ildə Amerika Astronomiya Cəmiyyətinin hiper divarında bir fotoşəkili. [+] sağdakı ilk Friedmann tənliyi.

Ətraf İnstitutu / Harley Thronson

Bu tənliyi niyə seçdiyimi soruşduqda, nə dedim:

"İlk Friedmann tənliyi, kainatdakıların əsasında genişlənmə sürətinin zaman keçdikcə necə dəyişəcəyini izah edir. Kainatın haradan gəldiyini və hara yönəldiyini bilmək istəyirsinizsə, ölçmək üçün lazım olan şey bu gün necə genişləndiyini göstərməkdir. və içindəkilər. Bu tənlik, qalanını proqnozlaşdırmağa imkan verir! "

Friedmann hekayəsi, onun tənliyi və Kainatımız haqqında bizə öyrətdikləri hər bir elm həvəskarı bilməlidir.

Einşteynin ümumi nisbi nəzəriyyəsinin saysız-hesabsız elmi testləri həyata keçirilmişdir. [+] fikri bəşəriyyət tərəfindən əldə edilən ən sərt məhdudiyyətlərə tabe etmək. Einşteynin ilk həlli, Günəş kimi dramatik bir müvəffəqiyyətlə bu nəticələrini tətbiq etdiyi Günəş kimi, tək bir kütlə ətrafındakı zəif sahə həddi idi.

LIGO elmi əməkdaşlıq / T. Pyle / Caltech / MIT

1915-ci ildə Einstein, bir tərəfdən uzay zamanının əyriliyini digər tərəfdən Kainatda maddə və enerjinin mövcudluğu ilə əlaqələndirən Ümumi Nisbilik nəzəriyyəsini irəli sürdü. John Wheeler-in illər sonra dediyi kimi, boşluq müddəti maddənin necə hərəkət ediləcəyini, boşluq müddətinin necə əyilməsini izah edir. Eynşteyn nəzəriyyəsi, bir səslə, Newtonun cazibə qüvvəsinin əvvəlki bütün uğurlarını canlandırdı, Merkuri orbitinin incəliklərini izah etdi (bunu Newton nəzəriyyəsi bacarmadı) və ulduz işığının bükülməsi üçün yeni bir proqnoz verdi; 1919-cu il günəş tutulması. Tək problem? Kainatın öz-özünə çökməsinin qarşısını almaq üçün Einşteynə bir kosmoloji sabit əlavə etməli idi - bir ad hoc statik boşluqların Ümumi Nisbilikdə qeyri-sabit olması faktını düzəldin - onun nəzəriyyəsinə. Çirkin idi, incə köklənmişdi və başqa bir motivasiya yox idi.

Alexander Friedmann, Friedmann tənliklərini yazarkən və bir proqnoz verəndə yalnız 33 yaşında idi. [+] Kainat genişlənir. Üç il sonra xəstəliyi həyatını faciəvi şəkildə qısaldır.

E. A. Tropp, V. Ya. Frenkel & amp A. D. Chernin Cambridge Universiteti Mətbuatı

Friedmann daxil olun. Tutulmanın təsdiqlənməsindən cəmi üç il sonra, 1922-ci ildə Friedmann, eyni zamanda kosmoloji sabitliyi aradan qaldırarkən Kainatı xilas etmək üçün zərif bir yol tapdı: statik olduğunu düşünməyin. Bunun əvəzinə, Friedmann iddia etdi ki, bu, müşahidə etdiyimiz kimi, maddə və radiasiya ilə doludur və əyilməsinə icazə verilir. Bundan əlavə, "hər istiqamətdə eyni" və "hər yerdə eyni" mənasını verən riyazi sözlər olan təqribən izotrop və homogen olduğunu düşünək. Bu fərziyyələri irəli sürsəniz, iki tənlik ortaya çıxır: Friedmann tənlikləri. Sizə Kainatın statik olmadığını, əksinə Kainatınızın genişlənmə sürətindən və məzmununun nə olduğuna görə ya genişləndiyini və ya daraldığını söyləyirlər. Ən yaxşısı sənə deyirlər Necə Kainat zamanla, özbaşına gələcəyə və ya keçmişə doğru inkişaf edir.

Kainatın gözlənilən taleyi (ilk üç illüstrasiya) hamısı olduğu bir Kainata uyğundur. [+] maddə və enerji ilkin genişlənmə nisbətinə qarşı mübarizə aparır. Müşahidə etdiyimiz Kainatda kosmik bir sürətlənməyə bu günə qədər izah olunmayan bir növ qaranlıq enerji səbəb olur.

E. Siegel / Galaxy kənarında

Diqqətəlayiq cəhət budur ki, Hubble Kainatda Süd Yolunun kənarında qalaktikaların olduğunu kəşf etməmişdən əvvəl Kainatın genişləndiyini kəşf etməmişdən əvvəl Friedmann bunu açıqladı! Növbəti ilədək Hubble Andromedadakı Cepheid dəyişkən ulduzlarını müəyyənləşdirəcək, bizə məsafəsini öyrədərək öz qalaktikamızın xaricində yerləşdirəcəkdi. Bundan əlavə, 1920-ci illərin sonlarına qədər Georges Lemaître və daha sonra müstəqil olaraq Hubble, Kainatın genişləndiyi qənaətinə gəlmək üçün qırmızı və məsafəli rəqəmləri bir araya gətirəcəkdi. O vaxta qədər gənc Friedmann, 1925-ci ildə bal ayından qayıdarkən tutduğu tifo xəstəliyindən artıq faciəli şəkildə öldü.

Hubble'ın Andromeda qalaktikasında M31-də bir Cepheid dəyişənini kəşf etməsi Kainatı bizə açdı,. [+] bizə Samanyolu aşan qalaktikalar üçün lazım olan müşahidə sübutlarını verir və genişlənən Kainata aparır.

E. Hubble, NASA, ESA, R. Gendler, Z. Levay və Hubble Heritage Team

Yenə də elmi irsi mübahisəsiz idi və kosmologiyanı daha yaxşı başa düşdükcə daha da artdı. İlk Friedmann tənliyi, ikisindən ən vacibidir, çünki müşahidələrə bağlamaq ən asan və sadədir. Bir tərəfdə genişlənmə sürətinin (kvadrat şəklində) və ya danışıq dilində Hubble sabit olaraq bilinən bir şeyə bərabərsiniz. (Bu, həqiqətən sabit bir şey deyil, çünki zaman keçdikcə Kainat genişləndikdə və ya daraldıqca dəyişə bilər.) Sizə Kainatın toxumasının zamanın funksiyası olaraq necə genişləndiyini və ya büzülməsini izah edir.

İlk Friedmann tənliyi, şərti olaraq bu gün yazıldığı kimi (müasir qeyddə) solda. [+] tərəfi Hubble genişlənmə sürətini və uzay zamanının təkamülünü ətraflı şəkildə izah edir və sağ tərəfdə məkan əyriliyi ilə birlikdə maddə və enerjinin bütün fərqli formaları yer alır.

Digər tərəfdən başqa hər şey sözün əsl mənasında. Kainatı təşkil edən bütün maddə, radiasiya və digər hər hansı bir enerji növü var. Kainatın qapalı (müsbət əyri), açıq (mənfi əyri) və ya düz (əyri olmayan) olmasından asılı olaraq kosmosun özünə xas olan əyrilik var. Həm də "Λ" termini var: ya bir enerji forması ola bilən, ya da kosmosun daxili xassəsi ola bilən bir kosmoloji sabit.

Materiya, Radiasiya və ya özünəməxsus enerjinin hakim olduğu zaman zamanın necə genişləndiyini göstərən bir nümunədir. [+] boşluğun özünə. Bu üç həllin hamısı Friedmann tənliklərindən əldə edilir.

Hər iki halda da, bu, Kainatın kəmiyyətcə necə genişləndiyini, içindəki maddəni və enerjini təşkil edənlə əlaqələndirən tənlikdir. Bu gün Kainatınızda nə olduğunu və bu gün nə qədər sürətlə genişləndiyini ölçün və ixtiyari miqdarda irəli və ya geriyə ekstrapolyasiya edə bilərsiniz. Kainatın uzaq keçmişdə və ya Böyük Partlayışdan dərhal sonra necə genişləndiyini bilə bilərsiniz. Yenidən çökəcəyini və ya olmayacağını (olmayacaq) və ya genişlənmə nisbətinin sıfıra asimptot verməyəcəyini (olmayacaq) və ya əbədi olaraq pozitiv olaraq qalacağını bilə bilərsiniz (olacaq).

Kainat təkcə eyni dərəcədə genişlənmir, içərisində kiçik sıxlıq qüsurları vardır. [+] zaman keçdikcə ulduzlar, qalaktikalar və qalaktikalar qrupları yaratmağımızı təmin edin. İlk Friedmann tənliyinə sıxlıq bərabərsizliyini əlavə etmək, Kainatın bu gün necə olduğunu anlamaq üçün başlanğıc nöqtəsidir.

E.M. Huff, SDSS-III komandası və Zosia Rostomianın Cənubi Qütb Teleskop komandası qrafiki

Və bəlkə də ən möhtəşəm şəkildə bu hamar fonun üstündəki qüsurları əlavə edə bilərsiniz. Kainatınıza qoyduğunuz sıxlıq qüsurları sizə genişmiqyaslı quruluşun necə böyüdüyünü və meydana gəldiyini, nəyin qalaktikaya / klasterə çevriləcəyini və nəyin baş verməyəcəyini və qravitasiya baxımından bir-birindən uzaqlaşdırılanlara qarşı nəyin bağlanacağını izah edir.

Bütün bunlar tək bir tənlikdən əldə edilə bilər: ilk Friedmann tənliyi.

Genişlənən Kainatın mənzərəsini dəstəkləyən böyük bir elmi dəlil toplusu var. [+] və Big Bang. Kiçik giriş parametrləri və sonradan təsdiqlənmiş çox sayda müşahidə müvəffəqiyyəti və proqnozlar uğurlu bir elmi nəzəriyyənin əlamətlərindəndir. Friedmann tənliyi hamısını təsvir edir.

Friedmannın ömrü qısa olsa da, təsirini şişirtmək olmaz. Kainatımızı təsvir edən ümumi nisbilik həllini ilk tapan O oldu: maddə ilə dolu genişlənən bir Kainat. Müstəqil olaraq alınmasına baxmayaraq, daha sonra üç nəfər - Georges Lemaître, Howard Robertson ve Arthur Walker - Friedmann bunun təsirlərini və tətbiqlərini tam həyata keçirdi və hətta ekzotik əyri məkanlar üçün ilk həll yollarını tapdı. O, nüfuzlu bir müəllim idi və ən məşhur şagirdi George Gamow idi, daha sonra Friedmann'ın əsərlərini genişlənən Kainata tətbiq edərək kosmik mənşəyimiz olan Big Bang nəzəriyyəsini yaratdı.

Genişlənən Kainatın əyani tarixi, Big Bang və kimi tanınan isti, sıx bir vəziyyəti əhatə edir. [+] sonradan quruluşun böyüməsi və formalaşması. Friedmannın tələbəsi olan George Gamow, bu şəklin haradan gəldiyi barədə Big Bang fikrini irəli sürməsində açıq şəkildə ondan təsirləndi.

Ən məşhur əsərindən təxminən bir əsr sonra, Friedmann tənlikləri, inflyasiya mənşəli, qaranlıq maddə, neytrinolar və qaranlıq enerjini ehtiva edən bir Kainata qədər uzandı. Yenə də bu mükəmməl irəliləyişləri hesablamaq üçün heç bir əlavə və dəyişiklik edilmədən, hələ də tamamilə etibarlıdırlar. Hamımız Einstein, Newton, Maxwell, Feynman, Boltzmann, Hawking və bir çoxunun nisbi ləyaqətləri barədə mübahisə edə bilsək də, genişlənən Kainat haqqında danışarkən, Friedmannın ilk tənliyi sizə lazım olan təkdir. Mövzu və enerjini bu gün, keçmişdə və gələcəkdə genişlənmə sürətinə bağlayır və Kainatın taleyini və tarixini bu gün edə biləcəyimiz ölçülərdən bilmək imkanı verir. Kainatımızın toxumasına gəldikdə, bu tənlik ən vacib olan tacı götürür.


Ölçmə sistemləri arasında çevrilmə

Çarpma ilə bağlı problemlərin həllində istifadə edilə bilən başqa bir xüsusi sabit növə "çevrilmə sabiti" deyilir. Bir ölçmə sistemindən digər sistemə çevrilmək üçün konversiya sabiti istifadə olunur.

Məsələn, hər mildə 1,61 kilometr məsafə var. Hesablamaq üçün istifadə edə biləcəyiniz bir tənliyi necə yazardıq? d, kilometr sayı m mil?

Əvvəlcə "Hər mildə 1,61 kilometr məsafədədir" dönüşüm faktoruna daha yaxından baxmalıyıq.

1. məxrəcdə hansı vahidlər var?

2. Bu çevirmə əmsalını ilə çoxaltmaq istəyirik d, kilometr və ya mmil?

3. kilometrin sayını hesablayan tənliyi necə yazmalıyıq m mil?

4. Tənliyi qeydlərinizə yazın və sonra "düyməsini vurun.d"cavabınızı yoxlamaq üçün.

Tənliyi qeydlərinizə yazın.

6 mil məsafədə neçə kilometr məsafədədir?

Ananızı ad günü üçün təəccübləndirmək üçün bir tort hazırlayırsınız. İnternetə baxır və ən sevdiyi tort üçün bir resept tapırsınız, amma vahidlərin hamısı metrikdir. Tarif 0.30 litr süd tələb edir və sahib olduğunuz bir ölçü stəkanıdır. Xoşbəxtlikdən, evdə elm dərsliyiniz var və dönüşüm faktorlarının arxasında bir cədvəl var. Cədvəldə bir litrə 4.23 fincan olduğu deyilir.

1. Bu çevrilmə faktorunu stəkanların litrə nisbəti kimi yazın.

2. məxrəcdə hansı vahidlər var?

3. Vahidləri ləğv etmək üçün bu çevirmə amilini stəkanlarla və ya litrlərlə vurmaq istəyirsiniz?


Fırlanma tətbiq olunur

$ (X, y) ^ T $ vektorunu $ (2) $ -dan son matrisaya vursanız, koordinat sistemini qarışıq müddətin yox olacağı şəkildə dəyişdirəcəksiniz, yəni $ x $ və $ y $ oxları ellipsinizin əsas oxlarına paraleldir. Bu sistemdə koordinatları $ (x ', y') ^ T $ kimi yazacağam:

Ellipsin fırlanması həmin fırlanma matrisindən oxunur. $ (3) $ -da istifadə olunan matris dönmüş ellipsdəki nöqtəni oxla düzəldilmiş ellipsdəki nöqtəyə çevirir. Beləliklə, istiqamət ellipsin fırlanmasını təsvir edərkən istifadə etdiyiniz şeyin əksinədir və bucağı ilk hissədən ən yaxşı şəkildə hesablayırsınız sıra bu matrisin:


Bu temperaturda reaksiya üçün sürət sabitinin dəyəri nədir?

Tezlik əmsalı # 7.50 xx 10 ^ 12 "M" ^ (- 1) cdot "s" ^ (- 1) #, aktivasiya enerjisi # "62.0 kJ / mol" #, temperatur isə # 24.0 ^ @ "C" #.

1 Cavab

Arasındakı əlaqə dərəcəsi sabittemperatur bu nöqtədə həqiqətən yaxşı tanıdığınız bir şeydir:

  • # k # dərəcə sabitidir.
  • # A #, sürət sabitliyi ilə eyni vahidlərə sahib olan tezlik amilidir.
  • # E_a # ümumiyyətlə # "kJ / mol" # olan aktivasiya enerjisidir.
  • #R = "0.008314472 kJ / mol" cdot "K" #, vahidlərin eksponent olaraq ləğv edilməsini təmin edən universal qaz sabitidir.
  • # T # # "K" # -dakı temperaturdur.

Beləliklə, bu, əsasən onu bağlayır və bir kalkulyatordan istifadə edir.

# color (mavi) (k) = 7.50 xx 10 ^ 12 "M" ^ (- 1) "s" ^ (- 1) cdot e ^ (- "62.0 kJ / mol" / ("0.008314472 kJ / mol" cdot "K" cdot (24.0 + "273.15 K")) #

# = (7.50 xx 10 ^ 12) e ^ (- 25.095) "M" ^ (- 1) "s" ^ (- 1) #

# = # # rəng (mavi) ("94.8 M" ^ (- 1) "s" ^ (- 1)) #


Nəticə

Sonlu fərq metodunun diferensial operatorları necə diskretləşdirdiyini müzakirə etdik və radial hidrogen tənliyi probleminə tətbiq etdik. Sürətli Python tətbiqi dalğa funksiyasının radial hissəsini və müvafiq enerji vəziyyətlərini hesablamağımızı təmin edir. Üçüncü hissədə sonlu element metodunu təqdim edəcəyik və nəticələri sonlu fərqlərdən istifadə edərək əldə edilənlərlə müqayisə edəcəyik.

Rahatlıq üçün aşağıda Python skriptinin hamısını tapın:


Mərkəzin sabit amilinin tənliyi - Astronomiya

Bu bölməyə davam etmədən əvvəl kvadrat tənliklərin həlli mövzusunun iki hissədə veriləcəyini qeyd etməliyik. Bu, materialı vebdə izləyənlərin xeyrinədir. Bu uzun bir mövzudur və səhifə yükləmə müddətlərini minimuma endirmək üçün material iki hissəyə ayrıldı.

Beləliklə, indi kvadrat tənlikləri həll edəcəyik. Birincisi, standart forma kvadratik tənliyin

Burada yeganə tələb bizim () tənlikdə. (A ne 0 ) tələb etməklə bu müddətin tənlikdə olacağına zəmanət veririk. Bununla birlikdə (b ) və / və (c ) sıfır olmasının yaxşı olduğunu unutmayın.

Kvadrat tənlikləri həll etməyin bir çox yolu var. Növbəti iki hissə ərzində onlardan dördünə baxacağıq. İlk iki metod hələ də işləməyəcək, yəqin ki, işləyərkən istifadə etmək bir az daha sadədir. Bu bölmə bu iki metodu əhatə edəcəkdir. Son iki metod həmişə işləyəcək, lakin düzəlmək üçün tez-tez bir az daha çox iş və ya diqqət tələb olunur. Bu üsulları növbəti hissədə nəzərdən keçirəcəyik.

Faktorinq yolu ilə həll

Başlıqdan da göründüyü kimi burada kvadrat tənlikləri faktorlaşdıraraq həll edəcəyik. Bunu etmək üçün aşağıdakı həqiqətə ehtiyacımız olacaq.

Bu həqiqətə sıfır faktor xassəsi və ya sıfır faktor prinsipi. Bütün gerçəklər ondan ibarətdir ki, iki şərtdən ibarət bir məhsul sıfırsa, başlanğıc üçün şərtlərdən ən azı biri sıfır olmalıdır.

Məhsulun sıfıra bərabər olması halında bu həqiqətin yalnız işləyəcəyinə diqqət yetirin. Aşağıdakı məhsulu nəzərdən keçirin.

Bu vəziyyətdə (a ) və ya (b ) nın 6 olacağına inanmaq üçün heç bir səbəb yoxdur. Məsələn, (a = 2 ) və (b = 3 ) ola bilərik. Beləliklə, bu həqiqətdən sui-istifadə etməyin!

Kvadrat tənliyi faktorinqlə həll etmək üçün əvvəlcə bütün şərtləri tənliyin bir tərəfinə keçirməliyik. Bunu etmək iki məqsədə xidmət edir. Birincisi, kvadratikaları faktordur ola biləcək bir formaya salır. İkincisi və ehtimal ki, daha əhəmiyyətlisi, sıfır faktor xüsusiyyətindən istifadə etmək üçün tənliyin bir tərəfində sıfır olmalıdır. Tənliyin bir tərəfində sıfır yoxdursa, sıfır faktor xassəsini istifadə edə bilməyəcəyik.

Bir neçə misala nəzər salaq. Qeyd edək ki, faktorinqi bu nöqtədə edə biləcəyiniz düşünülür və buna görə də faktorinqlə bağlı hər hansı bir məlumat verməyəcəyik. Faktorinqin nəzərdən keçirilməsinə ehtiyacınız varsa, geri qayıtmalı və əvvəlki fəslin Faktorinq bölməsinə nəzər yetirməlisiniz.

  1. ( - x = 12 )
  2. ( + 40 = - 14x )
  3. ( + 12y + 36 = 0 )
  4. (4 - 1 = 0)
  5. (3 = 2x + 8 )
  6. (10 + 19z + 6 = 0 )
  7. (5 = 2x )

İndi əvvəllər də qeyd edildiyi kimi faktorinq prosesinə hər hansı bir detal daxil etməyəcəyik, buna görə də faktorinqi burada edə biləcəyinizə əmin olun.

Əvvəlcə hər şeyi tənliyin tərəfində və sonra faktorda əldə edin.

İndi bu nöqtədə sıfıra bərabər olan iki müddətli məhsul əldə etdik. Bu o deməkdir ki, aşağıdakılardan ən azı biri doğru olmalıdır.

Bunların hər birinin həll edilməsi kifayət qədər asan olan xətti bir tənlik olduğunu unutmayın. Bunun bizə söylədiyi budur ki, (x = 4 ) və (x = - 3 ) tənliyinə iki həll yolumuz var. Xətti tənliklərdə olduğu kimi hər zaman həllini yenidən tənliyə qoşaraq həll yollarımızı yoxlaya bilərik. (X = - 3 ) yoxlayacağıq, digərini yoxlamaq üçün sizə buraxacağıq.

[ başlayın < sol (<- 3> sağ) ^ 2> - sol (<- 3> sağ) & mathop = limitlər ^? 12 9 + 3 & mathop = limitlər ^? 12 12 & = 12 , , , , < mbox> end]

Yəni bu əslində bir həll yolu idi.

Birincisində olduğu kimi əvvəlcə bərabər işarənin yanında hər şeyi alırıq, sonra amil.

İndi bir daha sıfıra bərabər olan iki müddətin məhsulu var, belə ki, bunlardan birinin və ya hər ikisinin sıfır olması lazım olduğunu bilirik. Beləliklə, texniki olaraq hər birini sıfıra bərabər qoyub həll etməliyik. Lakin, bunu ümumiyyətlə başımızda etmək üçün kifayət qədər asandır və buna görə bundan sonra bu həllini başımızda edəcəyik.

Bu tənliyin həlləri aşağıdakılardır:

Yerə qənaət etmək üçün burada daha çox həlləri yoxlamayacağıq, ancaq səhv etmədiyimizə əmin olmaq üçün bunu etməlisiniz.

Bu vəziyyətdə onsuz da bir tərəfimizdə sıfır var və buna görə də tənliklə hər hansı bir manipulyasiya etməyimizə ehtiyac yoxdur. Bundan əlavə, indi tənlikdə (y ) 'olduğumuz üçün həyəcanlanmayın. (X ) 'lərlə hər zaman məşğul olmayacağıq, buna görə onları həmişə görəcəyinizi düşünməyin.

Beləliklə, bu tənliyi nəzərə alaq.

Bu vəziyyətdə mükəmməl bir kvadrat əldə etdik. Kvadratı həqiqətən sıfır faktor xassəsi tətbiq etdiyimizi bildirmək üçün dağıtdıq. Ancaq ümumiyyətlə bunu etmirik. Biz ümumiyyətlə kvadrat şəklində olan hissədən birbaşa cavaba gedəcəyik.

Bu vəziyyətdə tənliyin həlli,

Bu nöqtəyə gəldiyimiz iki həllin əksinə olaraq burada yalnız bir dəyərimiz var. Tez-tez bu həll yolu a adlandıracağıq ikiqat kök ya da var deyirlər çoxluq 2 çünki kvadrat şəklində olan bir termindən gəldi.

Həmişə olduğu kimi tənliyi ilk amil edək.

İndi sıfır faktor xüsusiyyətini tətbiq edin. Sıfır faktor xassəsi bizə deyir ki,

Yenə də bunları adətən başımızda həll edəcəyik, amma ən azı birini tam təfərrüatlı etməyimiz lazım idi. Beləliklə, tənliyə iki həll yolumuz var.

Bunlardan bir neçəsini etdikdən sonra növbəti iki problem üçün o qədər də ətraflı məlumat verməyəcəyik. Budur bu tənlik üçün iş.

Yenə də faktor edin və bunun üçün sıfır faktor xüsusiyyətini istifadə edin.

Bu, həqiqətən çox pis olmasa da, həmişə tələbələr üçün problem yaradır.

Əvvəlcə. Hər iki tərəfdən də bir ((x )) ləğv etməyin. Pis ola biləcək fikri alırsınız? Bu. Hər iki tərəfdən bir (x ) ləğv etsəniz, bir həll yolunu qaçıracaqsınız, buna görə bunu etməyin. Buradakı faktorinq yolu ilə həll etdiyimizi unutmayın, buna görə əvvəl hər şeyi bərabər işarənin bir tərəfində əldə edək.

İndi nəzərə alın ki, faktorinq üçün edə biləcəyimiz hər şeyin (x ) faktorunu verməkdir. Bunu etmək,

Birinci amildən (x = 0 ), ikincisindən (x = frac <2> <5> ) əldə edirik. Bu tənliyin iki həlli bunlardır. Qeyd edək ki, ilk addımda bir (x ) ləğv etsəydik, cavab olaraq (x = 0 ) qazanmazdıq!

Gəlin burada başqa bir növ problemi həll edək. Bunlardan bir neçəsini Xətti tənliklərin həlli hissəsində gördük və bunlar kvadrat tənliklərlə də baş verə biləcəyi üçün onları burada da edə biləcəyimizə əmin olmaq üçün davam etməliyik.

Tamam, doğrusal tənliklərdə olduğu kimi burada da edəcəyimiz ilk şey, məxrəcləri LCD-yə vuraraq təmizləməkdir. Xatırladaq ki, bölünməni sıfıra verəcək (x ) dəyər (lər) ini də qeyd etməliyik ki, bunların həllinə daxil edilmədiyindən əmin ola bilək.

Bu problem üçün LCD ( left ( right) sol (<2x - 4> right) ) və sıfıra bölünməməyimizə əmin olmaq üçün (x = - 1 ) və (x = 2 ) işarələrindən qaçmalıyıq. Budur bu tənlik üçün iş.

[ başlayın sol ( sağ) sol (<2x - 4> sağ) sol (< frac <1> <>> sağ) & = sol ( sağ) sol (<2x - 4> sağ) sol (<1 - frac <5> << 2x - 4 >>> sağ) 2x - 4 & = sol ( sağ) sol (<2x - 4> sağ) - 5 sol ( sağ) 2x - 4 & = 2 - 2x - 4 - 5x - 5 0 & = 2 - 9x - 5 0 & = sol (<2x + 1> sağ) sol ( sağ) son]

Beləliklə, bu tənliyin iki həll yolu var,

Diqqət yetirin ki, bunların heç biri qarşısını almaq üçün lazım olan (x ) dəyərləri deyildir və buna görə də hər ikisi də həlldir.

Bu vəziyyətdə LCD (x - 1 ) olur və (x = 1 ) qarşısını almaq lazımdır, beləliklə sıfıra bölünməyəcəyik. Budur bu problem üçün iş.

[ başlayın sol ( sağ) sol ( <>> sağ) & = sol (< frac << 4 - x >> <>> sağ) sol ( sağ) sol ( sağ) sol ( sağ) + 3 & = 4 - x + 2x - 3 + 3 & = 4 - x + 3x - 4 & = 0 sol ( sağ) sol ( right) & = 0 end]

Beləliklə, faktorlaşdırdığımız və həll etdiyimiz kvadratikin (x = 1 ) və (x = - 4 ) iki həlli var. Bununla birlikdə, LCD-ni tapdığımızda (x = 1 ) qarşısını almaq lazım olduğunu gördük, buna görə sıfıra bölünmədik. Buna görə bu tənliyin tək bir həlli var,

Növbəti mövzuya keçməzdən əvvəl bu faktorinq ideyasının dərəcəsi ikidən daha böyük tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə biləcəyinə toxunmalıyıq. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirək.

Görüləsi ilk şey bu tənliyi mümkün qədər təsir etməkdir. Bu vəziyyətdə ilk növbədə ən böyük ortaq faktoru faktorlaşdırmaq deməkdir. Budur bu tənliyin faktorlaşdırılmış forması.

[ başlayın5x sol (<- x - 2> sağ) & = 0 5x sol ( sağ) sol ( right) & = 0 end]

İndi sıfır faktor xüsusiyyəti hələ də burada qalacaq. Bu vəziyyətdə sıfır olan üç müddətli məhsulumuz var. Bu məhsulun sıfır olmasının yeganə yolu, şərtlərdən biri sıfırdır. Bu o deməkdir ki,

[ başlayın5x & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow & x & = 0 x - 2 & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow & x & = 2 x + 1 & = 0 hspace <0.25 in> Rightarrow & x & = - 1 end]

Beləliklə, bu tənliyə üç həll yolumuz var.

Beləliklə, bir polinomu amil edə bilsək, bunu hər zaman həll üsulu kimi istifadə edə bilərik. Problem əlbəttə ki, faktorinqi etmək bəzən asan olmur.

Kvadrat Kök Əmlak

Kvadratiklərin həllinin ikinci metodu istifadə edir kvadrat kök xassəsi,

Burada hələ görmədiyiniz təqdirdə ilk (müəyyənləşdirə biləcəyimiz) yeni bir simvol var. “ ( Pm )” simvolu: “artı və ya eksi” şəklində oxunur və bizə məhz bu deyilir. Bu simvol stenoqrafiyadır ki, burada həqiqətən iki rəqəmimiz var. Biri (p = sqrt d ), digəri (p = - sqrt d ). Qalan həll üsullarını müzakirə edərkən növbəti iki hissədə tez-tez istifadə ediləcəyi üçün bu qeydə alışın. Bu, bu fəslin digər hissələrində və hətta digər fəsillərdə ortaya çıxacaqdır.

Bu istifadə üçün kifayət qədər sadə bir xüsusiyyətdir, ancaq qarşılaşacağımız tənliklərin yalnız kiçik bir hissəsində istifadə edilə bilər. Gəlin bu mülkün bəzi nümunələrinə baxaq.

Həqiqətən bu problemlərin hamısı o qədər də çox deyil. Kvadrat kök xassəsini istifadə etmək üçün etməyimiz lazım olan tək şey, sol tərəfdəki kvadrat əmsalını 1 əmsalı ilə digər tərəfdəki rəqəmi əldə etməkdir. Bunu etdikdən sonra kvadrat kök xüsusiyyətindən istifadə edə bilərik.

Bu, kifayət qədər sadə bir problemdir, ona görə də bu tənlik üçün iş.

Beləliklə, bu tənliyin iki həlli var, (x = pm 10 ). Unutmayın ki, burada həqiqətən iki həll var, (x = - 10 ) və (x = 10 ).

Tamam, bu ilə əvvəlkisi arasındakı əsas fərq kvadratın qarşısındakı 25-dir. Kvadrat kök xassəsi orada bir katsayısı istəyir. Bunun öhdəsindən gəlmək üçün kifayət qədər asandır, ancaq hər iki tərəfi də 25-ə böləcəyik. Budur bu tənlik üçün iş.

Bu vəziyyətdə həll yolları bir az qarışıqdır, lakin bunların çoxu buna görə narahat olmayın. Həm də nəzərə alın ki, 25-in kvadrat kökünün nə olduğunu bildiyimiz üçün irəli getdik və kəsrin kvadrat kökünü göstərildiyi kimi böldük. Yenə də xatırlayın ki, həqiqətən biri müsbət, digəri mənfi iki həll yolu var.

Bu, nümunənin sonunda görəcəyimiz bir fərqlə əvvəlki hissə ilə təxminən eynidir. Budur bu tənlik üçün iş.

Beləliklə, bu tənliyin iki həlli var: (z = pm frac <7> <2> i ). Kompleks həllər olduqlarına da diqqət yetirin. Bu, bir çox kvadrat tənliklərin həlli ilə baş verəcəkdir, buna görə onlarla işləyə biləcəyinizə əmin olun.

Bu əvvəlki hissələrdən fərqli görünür, lakin eyni şəkildə işləyir. Kvadrat kök xassəsi istənilən vaxt istifadə edilə bilər bir şey kvadrat bir ədədə bərabərdir. Buradakılarımız budur. Əlbətdə əsas fərq, kvadrat şəklində olan bir şeyin tək bir dəyişən olmaması, başqa bir şey olmasıdır. Beləliklə, burada bu tənlik üçün kvadrat kök xüsusiyyətinin tətbiqi.

İndi, sadəcə (t ) üçün həll etməliyik və tənlikdəki “artı və ya mənfi” olmasına baxmayaraq, hər hansı bir xətti tənliyi həll edəcəyimiz kimi işləyir. Hər iki tərəfə 9 əlavə edəcəyik və sonra 2 ilə bölün.

Qeyd edək ki, son cavab üçün kəsiri mötərizədən vurduq. Bunu ümumiyyətlə bu problemlərdə edəcəyik. Ayrıca, istənmədikcə bunları ondalıka çevirməyin. Bu cavablar üçün standart formadır. Bununla birlikdə onları edə biləcəyinizə əmin olmaq üçün onları ondalıklara çevirməliyik. Budur iki həllin ondalık dəyərləri.

Bu son hissədə işin detallarına çox şey qoymayacağıq.

[ başlayın < sol (<3x + 10> sağ) ^ 2> & = - 81 3x + 10 & = pm , 9 , i 3x & = - 10 pm , 9 , i x & = - frac <<10>> <3> pm 3 , i end]

Beləliklə, yenidən iki mürəkkəb həll aldıq və əvvəlki hissənin hər ikisi ilə “artı və ya eksi” hissəsini son qoyduğumuzu da nəzərə aldıq. Ümumiyyətlə bunlar necə yazılır.

Bu bölmənin əvvəlində qeyd edildiyi kimi, bu mövzunu vebdə izləyənlərin xeyrinə bu mövzunu iki hissəyə ayıracağıq. Kvadrat tənliklərin həllində kvadrat və kvadrat düsturu tamamlayaraq növbəti iki üsul növbəti hissədə verilmişdir.


Cavablar və cavablar

Mənə uyğun dalğa tənliyinə bir həll tapmaq maraqlıdır
Gaussun ilkin şərtləri
[tex] psi (0, x) = e ^ <-x ^ 2/2> [/ tex]

X-dən p sahəsinə bir təyyarə dalğası parçalanması edin. Sonra müsbət düşünün
enerji və beləliklə:

Bu, müstəqil müstəvi dalğalarının zaman təkamülünü verir. Son addım
(t, p) sahəsindən (t, x) sahəyə 3d tərs Fourier. The result comes
down to a convolution between the Gaussian and a second order Bessel K function
with imaginary argument. (A Hankel function)

Thanks for the three responses, they were a lot of help, and in the end helped me piece together an answer for the massless case. it's pretty epic.

The problem:
Massless propagation of free scalar field with Gaussian initial conditions

where x is shorthand for the three space dimensions (x,y,z). 'a' is a constant.

The error functions arise because, as pointed out in the responses, the second integral in the original post is of the form k*exp(quadratic), and this can be done by substitution and it gives rise to an error function. Erfi is notation used by Mathematica it's basically just Erf rotated by 90 degrees in the complex plane.

I've attached two plots which show respectively the real and imaginary parts of the solution psi(t,r), plotted on the (t,r) plane. Gaussian initial conditions can be seen along the axis t=0. It's kind of nifty, the light-like propagation is clearly visible in each plot, as the packets propagate along the lightcone t=+/-r.

If there's any interest to see the details, I guess I can try write them up somehow.


Conjugate Gradient Method

For most matrices, the majority of work is in the sparse matrix-vector multiplication v=A*p in the first step. For Poisson's equation, where we can think of p and v living on a square grid, this means computing which is nearly identical to the inner loop of Jacobi or SOR in the way it is parallelized. We will deal with more general techniques for sparse-matrix-vector multiplication in a later lecture.

The other operations in CG are easy to parallelize. The saxpy operations are embarrassingly parallel, and require no communication. The dot-products require local dot-products and then a global add using, say, a tree to form the sum in log(p) steps.

Now we will go back and show how the factorization T = Q*Lambda*inv(Q) arises. Suppose q(j) is an eigenvector of T and lambda(j) is its corresponding eigenvalue. This means T*q(j) = lambda(j)*q(j). We can write this equation for j=1 to n as the following single matrix equation: or where Q is a matrix whose columns q(j) are the eigenvectors: and Lambda is a diagonal matrix of eigenvalues Now, assuming Q is nonsingular, postmultiply T*Q = Q*Lambda by inv(Q) to get T=Q*Lambda*inv(Q) as desired.

It turns out we know an explicit expression for the eigenvalues lambda(i) and eigenvectors q(i) of T: We will give an intuitive meaning to this expression in Lecture 20. In the meantime one can simply confirm that T*q(j) = lambda(j)*q(j) using elementary trigonometry.

Q has the further attractive property of being orthogonal, which means that its columns are orthogonal to one another and have unit length. This implies that inv(Q) = Q'=Q, and so This lets us simplify our algorithm to This makes it clear that all we need is a fast algorithm for multiplying a matrix (or vector) by Q. To show how to do this, we first review the FFT.

Review of the FFT

Definition. The Discrete Fourier Transform of an m-by-1 vector v is the matrix-vector product F*v, where F is an m-by-m matrix defined as follows. Let i.e. a complex number with absolute value 1, whose m-th power is 1 (a so-called m-th root of unity ). Then for 0 unitary matrix (the complex equivalent of an orthogonal matrix). This means that multiplying by F and inverse(F) are essentially equivalent problems. (This can be confirmed by elementary trigonometry.)

A typical use of the DFT is filtering, as illustrated below. The top left plot is the signal s=sin(7t)+.5*sin(5t), for t at 128 equally spaced points between 0 and 2*pi. The top right 2 plots are the real and imaginary part of the fft of the signal there are essentially two pairs of spikes, corresponding to the two sine waves. The middle left plot is s with random noise added to it, which is bounded in magnitude by .75. Its fft is also shown to the right. Finally, the signal+noise is filtered by taking the fft of the signal+noise and zeroing out any components less than .25 in magnitude. This accurately restores the original signal, in the bottom left graph. More sophisticated filtering schemes are also used.

Another possibly use of the 2D DFT of a matrix X, i.e. computing Y=F*X (replacing each column of X by its DFT) and then Y*F (replacing each row of Y by its DFT), besides solving the Poission equation, is data compression. The first image below is a 200x320 pixel array. The second image is gotten by taking the 2D FFT of the first image, zeroing out all but the largest 2.5% of the components, and taking the inverse 2D FFT. Thus, keeping only 2.5% of the data in the original image lets us approximately reproduce the original image. (Actually we need more than 2.5%, since we need the real and imaginary parts of the FFT, as well as the indices of the nonzero components this may be as much as 4 times as much data, or 10% of the original.) Other, more sophisticated data compression schemes are often used in practice.

The Fast Fourier Transform (FFT) is an algorithm to compute the Discrete Fourier Transform F*v in O(m log m) time instead of O(m^2) time. We discuss it in more detail below, but first we will show how multiplying by F and multiplying by Q are closely related.

Multiplying by Q using the FFT

A High Level Serial O(m log m) Implementation of the FFT

We begin by showing how to interpret the product F*v as polynomial evaluation of the polynomial at the points x = omega^0, omega^1, omega^2, . omega^(m-1): Conversely, one can interpret multiplication by inv(F) as polynomial interpolation , i.e. computing the coefficients of a polynomial given its value at m points omega^j.

Now break up the polynomial V(x) into two parts, those consisting of even powers of x, and those consisting of odd powers of x: Since V is a polynomial of degree m-1, V_even and V_odd are polynomials of degree m/2 - 1, which we need to evaluate at the points (omega^j)^2, for 0 bit-reverse permutation component of the output vector contains component of F*v.

Here is another, equivalent way to see the pattern of which components of v get combined with which other components at each step of the algorithm. As before, we illustrate in the case m = 2^4 = 16. Then we may partially evaluate the algorithm to see that

Parallelizing the FFT of a single vector

There is an edge from a grid point v0 in column j to a grid point v1 in column j+1, if the data at v1 depends on the data at v0. From examining the algorithm, we see that there is an edge from both grid points to the same grid points points in column j+1, for a total of 4 edges connecting this pair of points. These 4 edges form what looks like a "butterfly" in the figure below, where we have color-coded the edges so that edges corresponding to the same butterfly connecting adjacent columns have the same color. Here is the graph in the case m=16. The first column of butterflies connects grid points whose numbers differ in bit 0 (the leftmost bit). For example, the black butterfly connects 0000 and 1000. The second column of butterflies connects grid points whose numbers differ in bit 1 for example the black butterfly connects 0000 and 0100. The next black butterfly connect 0000 and 0010, and the rightmost black butterfly connects 0000 and 0001.

This analysis is enough to compute the PRAM complexity of the FFT: Each of the s rightmost columns can be computed in one time step using m processors, for a complexity of O(s) = O(log m).

For a real parallel implementation, we need to take communication costs into account, and this is dictated by our choice of layout: which processors own which entries of the vector v. The following discussion may be found in "LogP: Towards a realistic model of parallel computation", by D. Culler, R. Karp, D. Patterson et al, which is in the class reader.

Let us consider two obvious candidates which we considered before in the case of Gaussian elimination: blocked and cyclic . The block case is shown below, with m=16 and p=4. The processor numbers are color coded. Edges which cross processor boundaries, and so require communication, are black. Edges within a processor, which require no communication, are color coded by the local processor color. In the block case, note that the leading log(p) bits of an address determine the processor (green is processor 00, blue is 01, magenta is 10, and brown is 11). Thus, in general, the first log(p) stages require communication, because addresses of data to be combined differ in their leading log(p) bits. The last log(m/p) stages are local, and require no communication.

The cyclic case is shown below, color coded in the same way. In this case, the trailing log(p) bits of an address determine the processor. Therefore, the last log(p) stages require communication, and the first log(m/p) stages are local.

Let us analyze the parallel complexity of these algorithms. As before we use the parameters. Then both the block and cyclic implementations require

An alternative implementation is start with a cyclic implementation, and then transpose the data to have a block layout after the first log(p) steps. This way the first log(p) stages require no communication, then a transpose (a significant amount of communication) is performed, and finally the last log(m/p) stages are again local. (This assumes m>=p^2, which we now assume, since we expect many more points than processors. Otherwise, there may be more transposes required.) This is shown below. (The "local FFTs" have the same structure as an FFT, but may use different powers of omega as coefficients.)

The reason we call converting from cyclic to block layout (or back) transposing is shown below for m=16 and p=4. When the data layout is seen in this way, it clearly looks like transposing a matrix.

The computational cost of this algorithm is the same as before: 2*m*log(m)/p*f. The communication cost is entirely the cost of transposing a matrix. This in turn depends on details of how many messages can be overlapped in the network. In the most pessimistic case, where no communication can overlap, so a processor can have only one outstanding message to another processor at a time, the cost is as follows: Comparing Time(transpose_FFT) with Time(block_FFT) = Time(cyclic_FFT), we see that the transpose_FFT sends less data overall, but sends (p-1)/log p times as many messages. Thus, in this non-overlapping case, one expects the transpose_FFT to do well in a low latency, high bandwidth environment, or when m is very large and p small, and the block or cyclic to do well in a high latency, low bandwidth environment, or when m is not as large but p is large.

In the most optimistic situation, where the communication hardware and software permit communications to overlap so that one can have many messages to other processors outstanding at a time, one pays only a latency cost of alpha, rather than p-1 alpha. This lowers the cost to which is always better than either cylic_FFT or block_FFT. In fact, one can show it is close to optimal (see "LogP: Towards a realistic model of parallel computation" for details).

The above algorithm does not attempt to return the answer in sorted order it comes out in a permuted order, which is adequrate for many applications. Sorting the final answer would require more communication (essentially another transpose).

For a radically different way to parallelize the 1D FFT, which uses the Fast Multipole Method to lower the communication needed when one insists on sorted inputs and outputs, see the paper The Future Fast Fourier Transform? on Alan Edelman's homepage. See Lecture 24 and especially Lecture 25 for detail on the Fast Multipole Method.

Parallelizing Higher Dimensional FFTs

There are three obvious algorithm and layout choices that one might consider for the 2D case:

Assume we are given the n-by-n grid of data in a 2D blocked layout, using an s-by-s processor grid, where s = sqrt(p). Thus, each processor owns an n/s-by-n/s subgrid, as shown below.

The algorithm is now easy to describe. Let N=n 2 . We first do 1D FFTs on all the rows using the 1D parallel FFT algorithm from above. In these row FFTs, s processors cooperate to solve each row, e.g., P0, P1, P2, and P3 solve the first n/s rows in the picture. The other processors proceed in parallel, so there total running time is that of n/s 1D FFTs of size n on s processors. where x=1 if all messages can overlap, and x=s-1=sqrt(p)-1 if they cannot overlap.

The column FFTs have the same cost, and unlike some of the other strategies described below, no global redistribution of data is required. (Note that, depending on 2D array layout, one of the dimensions will not have stride one accesses, even at the bottom of the FFT butterfly.)

The total cost is therefore Time(RowFFT)+Time(ColumnFFT) = 2*Time(RowFFT) shown above.

Block Row Layout with Transpose

There is another much simpler implementation of this algorithm, which does not require parallelizing the FFT at all. If one can in fact fully overlap the latency cost of transposition, its cost is identical to the algorithm above. In the somewhat more general and realistic situation of nonoverlapping communication, it costs the same in flops and bandwidth, and sqrt(p) times as much in latency: The cost of this is Block Row Layout without a Transpose

Another alternative is to use the block row layout above, but to leave the data in this layout for the column FFTs. In this case, the column FFTs will be 1D parallel FFTs, each on p processors. We avoid the transpose at the cost of more expensive 1D FFTs.

For more details, including comparisons of some of these models to actual measurements, see "Performance Modeling and Composition: A Case Study in Cell Simulation" by S. Steinberg, J. Yang, and K. Yelick. This paper actually uses the parallel solution of Poisson's equation as one step in a more complicated problem involving simulating the motion of biological cells immersed in moving fluids. These techniques have been used to study blood flow in the heart, embryo growth, platelet aggregation in blood clotting, sperm motility, and other biological processes.

As mentioned ealier, the 3D case is entirely analogous to the 2D. One can imagine using a 3D blocked layout on a c x c x c processor grid (where c = p 1/3 ). Note that the three dimensions need not be identical for the algorithm to work correctly. Alternatively, each processor could own complete planes, so the FFTs in 2 dimensions would require no communication the 3rd dimension could be acheived with either a tranpose or a parallel 1D FFT.


Videoya baxın: عاوز تشتغل محاسب # أيه هو رأس المال العامل وإزاى تحسبه و يعني أيه صافى رأس المال العامل سالب او موجب (Sentyabr 2021).