Astronomiya

H (t) - sürətlənmə bu qədər böyük olarsa zaman qrafiki müsbət qradiyentə sahib ola bilərmi?

H (t) - sürətlənmə bu qədər böyük olarsa zaman qrafiki müsbət qradiyentə sahib ola bilərmi?

Hubble sabiti redshift-dən asılıdır?

xahiş edirəm yuxarıdakı quastiona baxın və cavab verin.

Aşağıdakı qrafiki (yuxarıdakı sualın cavabından) sürətləndirmə o qədər böyükdürsə, qradiyenti müsbət ola bilər.


Bu qüvvə, kütlə və sürətləndirmə hesablayıcısı fizikanın ən əsas düsturlarından birinə əsaslanır:

burada F = Güc m = Kütlə a = Sürətlənmə

Bu düstur, cismin kütləsini və sürətlənmə sürətini bilsəniz, bir cismə təsir edən qüvvəni hesablamağa imkan verir. Bir obyektin sürətlənməsi və ona təsir edən qüvvə nəzərə alınmaqla bir cisim kütləsini hesablamaq istəyirsiniz? Problem yoxdur, düsturun bu dəyişməsindən istifadə edin:

Və ya bir cismin kütləsi və ona təsir edən qüvvə verildiyi sürətini bilmək istəyirsinizsə, düsturun bu dəyişməsindən istifadə edin:

Güc, Kütlə və Sürətləndirmə vahidləri

Güc, kütlə və sürətlənməni ölçmək üçün istifadə edilə bilən saysız-hesabsız vahid növü var, lakin ən yaygın olanları (və bu kalkulyator tərəfindən istifadə edilənlər) aşağıda göstərilmişdir:

Metrik force & rarr N (Newton) kütləsi və rarr kq (kiloqram) sürətlənmə və rarr m / s 2 (saniyədə kvadrat kvadrat)

İmperator force & rarr lbf (funt güc) kütlə & rarr lbm (funt kütlə) sürətləndirmə və rarr ft / s 2 (saniyədə fut kvadrat)

Güc, Kütlə və Sürətlənmə anlayışı

Nə baş verdiyini təsəvvür edə bilsən, fizikanı başa düşmək ümumiyyətlə daha asandır, buna görə güc, kütlə və sürətləndirmə düsturunun arxasındakı ümumi anlayışları izah etmək üçün (onu təsəvvür etməyə kömək edəcək bir şəkildə) burada əlimdən gələni edəcəyəm.

Bir "qüvvəni" bir cisim üzərində hərəkət edən hər cür itələmə və ya çəkmə şəklində təsəvvür edə bilərsiniz. Tipik olaraq Newtons (metrik sistem) və ya funt gücündə (imperiya sistemi) ölçülür. Mən təqdim edə biləcəyim cisimlərə təsir göstərən qüvvələrin məhdudiyyətsiz nümunələri var, ancaq bunlardan yalnız bir neçəsi:

  • Bir şeyi itələdikdə. Əlinizlə bir fincan bir masa üstü basdığınızı düşünün. Bunu etdikdə əliniz fincan üzərində bir qüvvə tətbiq edir (və fincan əslində əlinizdə tam əks qüvvə də göstərir).
  • Raket partladıqda. Raket, işlənmiş qazları mühərrik ucluğundan itələyir və bu işlənmiş qazlar, roketi göyə qaldıran bir güc tətbiq edərək, nozzle tərk edərkən roketi geri çəkir.
  • Yerdə duranda. Cazibə qüvvəsi sizi yerə doğru çəkir. Sizin çəkiniz sizi yer üzünə çəkən cazibə qüvvəsi ilə yaradılan gücdür. Dayandığınız zaman çəkinizi ayaqlarınızda hiss edə bilərsiniz, çünki yer sizi aşağı çəkən eyni güclə (yəni çəkiniz) ayaqlarınıza geri çəkilir.

Kütlə, bir cisimdəki maddə miqdarıdır. Tipik olaraq kiloqram (metrik sistem) və ya funt kütlə (imperiya sistemi) ilə ölçülür. Kütlə çəki ilə eyni şey deyil (bu bir gücdür). Təsəvvür etmək üçün yer üzündə müəyyən bir çəki çəkə bilərsən, amma aya getsən, daha az çəki çəkərdin, çünki Ay yerdən fərqli bir cazibə qüvvəsi göstərir. Bununla birlikdə, Aydakı kütləniz yerdəki ilə eyni olacaq, çünki qurduğunuz maddənin miqdarı dəyişməyib.

Sürət yalnız sürətdəki bir dəyişiklikdir. Tipik olaraq "saniyədə kvadrat metr" (metrik sistem) və ya "saniyədə kvadrat fut" (imperiya sistemi) ilə ölçülür. "Saniyədə ayaq kvadratı" başınızı sarmaq üçün sərt bir ölçü vahidi kimi görünür, amma əslində o qədər də pis deyil. Bunun başqa bir şəkildə "saniyədə, saniyədə ayaq" olacağını söyləmək olar. Deyək ki, saniyədə 10 fut sürətlə hərəkət edirsiniz, bu sizin sürətinizdir. Bu, hər saniyədə 10 fut səyahət etdiyiniz deməkdir. İndi fərz edək ki, səni ("sürətləndiririk" deməklə) saniyədə 10 "saniyədə kvadrat" (və ya başqa sözlə, "saniyədə, saniyədə 10 fut") sürətlə sürətləndiririk. Bu o deməkdir ki, sürətinizi hər saniyədə 10 fut artırırıq. Beləliklə, onsuz da saniyədə sabit 10 fut sürətlə gedirdiniz (sürətiniz). İndi səni saniyədə 10 fut sürətləndirdiyimizdə, keçən saniyə üçün sürətini saniyədə 10 fut artırırıq. Yəni sizi sürətləndirməyə başladıqdan bir saniyə sonra saniyədə 20 fut sürətlə gedəcəksiniz. Sizi sürətləndirməyə başladığımızdan iki saniyə sonra saniyədə 30 fut sürətlə gedəcəksiniz. Üç saniyədən sonra saniyədə 40 fut sürətlə gedəcəksiniz. Və sair.

Güc, Kütlə və Sürətləndirmə Formulunu anlamaq

Güc, kütlə və sürətlənmə düsturunu hərəkətə gətirmək üçün özünüzü nəyisə itələyəcəyinizi xəyal etməlisiniz. Təsəvvür edin ki, xarab olmuş avtomobili itələməlisiniz. Avtomobili müəyyən bir sürətə çatdırmaq üçün nə qədər çalışmalı olduğunuzu qiymətləndirərkən oyun içərisində olan faktorları onsuz da dərk edirsiniz, ancaq bu faktorların əslində yalnız "F =" nin real həyat təzahürü olduğunu anlamırsınız. ma "düsturu. Avtomobilin ölçüsü avtomobilin kütləsidir. Nə qədər məcbur etməli olduğunuz gücdür. Müəyyən bir sürətə çatmağınız üçün vaxt (deyək ki, qaçış sürəti) sizin sürətinizdir. Avtomobil böyükdürsə (yəni kütləsi böyükdür), qaçış sürətinə sürətlə çatmaq üçün (yəni yüksək sürətlənməyə nail olmaq üçün) daha çox basmalısınız (yəni böyük bir qüvvə göstərməlisiniz). Avtomobil kiçikdirsə (yəni kütləsi azdır), qaçış sürətinə tez qalxmaq üçün (yəni yüksək sürətlənməyə nail olmaq üçün) o qədər çox basmaq məcburiyyətində qalmayacaqsınız (yəni daha kiçik bir güc göstərə bilərsiniz).

İmperator Sistemini Güc, Kütlə və Sürət üçün istifadə edərkən "Şlaklar" haqqında bir qeyd

İmperiya sistemində qüvvə, kütlə və sürətləndirmə düsturunu istifadə edərkən (yəni bir funt güc vahidi, kilo kütləsi və saniyədə ayaqları kvadrat şəklində istifadə etdiyiniz zaman) xəbərdar olmağınız lazım olan bir kütlə vahidi var. , "slug" adlanır. Slug, üzərinə bir kilo qüvvə (lbf) tətbiq edildikdə 1 ft / s 2-də sürətlənəcək kütlə miqdarını göstərir. Bir ilbizin kütləsi 32.174049 lirə (və ya 14.593903 kiloqram).

Slug, eyni şey olmayan funt kütləsi ilə funt qüvvəsi arasında irəliləməyimizə kömək etmək üçün əslində mövcuddur. Pound force (lbf) sizin çəkiniz və ya bir roketin itələməsi kimi həqiqi bir qüvvəni ölçür (unutmayın, güc itələmək və ya çəkməkdir). Metrikdə funt gücünün ekvivalent ölçü vahidi (lbf) Newton (N) dir. Pound kütləsi (lbm) bir cisimdəki maddə miqdarını ölçür. Metrikdə funt kütləsi üçün ekvivalent ölçü vahidi (lbm) kiloqramdır (kq).

Təsəvvür etmək üçün əvvəlcə metrik sistemdəki bir nümunəni nəzərdən keçirək, burada 8 kq cismi 10 m / s 2-də sürətləndirmək üçün lazım olan gücü hesablayırıq. "F = m a" düsturuna görə, bu güc:

Yuxarıdakı metrik sistem nümunəsində 80 kq m / s 2-nin 80 Nyutona (N) çevrildiyini görə bilərsiniz. Bunun səbəbi metrik sistemin hamısının xoş və səliqəli olmasıdır, həqiqi bir Newton tərifi "1 m / s 2-də 1 kq sürətləndirmək üçün lazım olan qüvvə miqdarıdır". Buna görə 1 kq m / s 2 = 1 N və buna görə də nümunəmizdən 80 kq m / s 2 = 80 N.

İndi imperiya sistemindəki bir nümunəni nəzərdən keçirək, burada 8 lbm cismi 10 ft / s 2-də sürətləndirmək üçün lazım olan gücü hesablayırıq. "F = m a" düsturuna görə, bu güc:

Ancaq burada bir problemə çatırıq. Metrik sistemdə 80 kq m / s 2-nin 80 N olduğunu söyləyə bilərik, çünki 1 kq m / s 2-nin 1 N-ə bərabər olduğu halda, imperiya sistemində belə asan bir keçid edə bilmərik və 80 lbm ft / s 2 80 lbf-ə bərabərdir, çünki 1 lbm ft / s 2 1 lbf-ə bərabər deyil (çünki imperiya sistemi metrik sistem kimi hamısı xoş və səliqəli deyil). Budur, bir sümük tərifinə qayıtmalıyıq. Yadda saxla ki, yuxarıdakı bir neçə bənddə təsvir olunduğu kimi, şlak bir funt güc (lbf) tətbiq olunduqda 1 ft / s 2-də sürətlənəcək kütlə miqdarındadır. Bunu söyləməyin başqa bir yolu, bir funt gücünün tərifinin "1 qarışıqlığı 1 fut / s 2-də sürətləndirmək üçün lazım olan qüvvə miqdarı" olmasıdır. Buna görə 1 slug ft / s 2 = 1 lbf və beləliklə bərabərliyimizi aşağıdakı kimi davam etdirə bilərik:

(indi, 1 şlakın 32,2 lbm-ə bərabər olduğunu xatırladaraq, tənlikdəki funt kütləsini şlaklarla əvəz edə bilərik)

F = 80 lbm ft / s 2 x 1 slug / 32.2 lbm

(və indi 1 slug ft / s 2-nin 1 lbf-yə bərabər olduğunu xatırladaraq, tənliklərdəki ft / s 2-ni lbf ilə əvəz edə bilərik)


Bir xətt boyunca hərəkət

Törəmə üçün başqa bir istifadə bir xətt boyunca hərəkəti analiz etməkdir. Sürəti mövqenin dəyişmə sürəti kimi təsvir etdik. Sürətin törəməsini götürsək, tapa bilərik sürətləndirməvə ya sürətin dəyişmə sürəti. İdeyasını təqdim etmək də vacibdir sürət, bu sürət böyüklüyüdür. Beləliklə, aşağıdakı riyazi tərifləri deyə bilərik.

Tərif

Qoyun zamanında bir obyektin mövqeyini verən bir funksiya olmaq .

Obyektin zaman sürəti tərəfindən verilir .

The sürət zamanda obyektin tərəfindən verilir .

The sürətləndirmə obyektin tərəfindən verilir .

Ani sürət və orta sürəti müqayisə etmək

64 metr yüksəklikdən bir top atılır. Yerdən hündürlüyü (ayaqla) saniyə sonra verilir .

  1. Top yerə dəyəndə topun ani sürəti nə qədərdir?
  2. Düşmə zamanı orta sürət nə qədərdir?

Həll

Ediləcək ilk şey topun yerə çatması üçün nə qədər vaxt lazım olduğunu müəyyənləşdirməkdir. Bunu etmək üçün qurun . Həll olunur , əldə edirik , buna görə topun yerə çatması 2 saniyə çəkir.

  1. Topun yerə dəydiyi anda ani sürəti . Bəri m əldə edirik ft / s.
  2. Topun düşmə zamanı orta sürəti

ft / s.

Arasındakı əlaqəni şərh etmək və

Bir hissəcik koordinat oxu boyunca sağa müsbət istiqamətdə hərəkət edir. Zamanındakı mövqeyi tərəfindən verilir . Tapın və aşağıdakı suallara cavab vermək üçün bu dəyərlərdən istifadə edin.

  1. Zamanında hissəcik soldan sağa və ya sağdan sola doğru hərəkət edir?>?
  2. Hissəcik sürətlənir və ya yavaşlayır />?

Həll

Taparaq başlayın .

.

Bu funksiyaların qiymətləndirilməsi , əldə edirik .

  1. Çünki , hissəcik sağdan sola doğru hərəkət edir.
  2. Çünki , sürət və sürət əks istiqamətdə hərəkət edir. Başqa sözlə, hissəcik getdiyi istiqamətə əks istiqamətdə sürətlənir və səbəb olur azaltmaq. Hissəcik yavaşlayır.

Vəzifə və sürət

Bir koordinat oxu boyunca hərəkət edən bir hissəciyin mövqeyi .

  1. Tapın .
  2. Hissə hansı vaxt (lar) da istirahətdədir?
  3. Hissəcik soldan sağa hansı vaxt fasilələrində hərəkət edir? Sağdan sola?
  4. Əldə olunan məlumatlardan hissəciyin yolunu koordinat oxu boyunca cızmaq üçün istifadə edin.

Həll

.

Hissəcikin yolu analiz edərək müəyyən edilə bilər .

Bir hissəcik koordinat oxu boyunca hərəkət edir. Zamanındakı mövqeyi tərəfindən verilir . Zaman hissəciyi sağdan sola və ya soldan sağa hərəkət edirmi? ?

Həll

Tapın və işarəyə baxın.


Ani sürətlənmə

Ani sürətlənmə a, və ya vaxtında müəyyən bir anda sürətlənmə, ani sürət üçün müzakirə edilən eyni müddət istifadə edilərək əldə edilir. Yəni, zamanın iki nöqtəsi arasında ( Delta ) t ilə ayrılmış və ( Delta ) t sıfıra yaxınlaşan orta sürəti hesablayırıq. Nəticə, v (t) sürət funksiyasının törəməsidir ani sürətlənmə və riyazi olaraq ifadə edilir

Bu konsepsiyanı göstərmək üçün iki nümunəyə nəzər salaq. Əvvəlcə sürətlənməni qrafik olaraq tapmaq üçün 3.3.4-cü bənddən, 3.3-cü sürət sürət-zaman qrafikindən istifadə edərək sadə bir nümunə göstərilir. Bu qrafik düz bir xətt olan Şəkil ( PageIndex <6> ) (a) ilə təsvir edilmişdir. Zamanla müqayisədə müvafiq sürətlənmə qrafiki sürət yamacından tapılır və Şəkil ( PageIndex <6> ) (b) -də göstərilir. Bu nümunədə sürət funksiyası sabit bir yamac ilə düz bir xəttdir, beləliklə sürətlənmə sabitdir. Növbəti nümunədə sürət funksiyası zamandan daha mürəkkəb funksional asılılığa malikdir.

Şəkil ( PageIndex <6> ): (a, b) Sürətə qarşı zaman qrafiki xətti və (b) -də göstərilən sürətlənməyə bərabər olan mənfi sabit yamacına (a) malikdir.

Sürətin funksional formasını v (t) bilsək, hərəkətin istənilən vaxt nöqtəsində a (t) tənliyini Ref <3.9> Tənlikindən istifadə edərək hesablaya bilərik.

Nümunə 3.6: Ani sürətlənmənin hesablanması

Bir hissəcik hərəkətdədir və sürətlənir. Sürətin funksional forması v (t) = 20t & minus 5t 2 m / s-dir.

  1. Sürətləndirmənin funksional formasını tapın.
  2. T = 1, 2, 3 və 5 s-də ani sürəti tapın.
  3. T = 1, 2, 3 və 5 s-də ani sürətlənməni tapın.
  4. (C) nəticələrini sürət və sürət vektorlarının istiqamətləri baxımından şərh edin.

Sürət funksiyasının törəməsini götürərək sürətlənmənin funksional formasını tapırıq. Sonra, hər biri üçün verilən funksiyalardan ani sürət və sürətlənmə dəyərlərini hesablayırıq. (D) hissəsi üçün hər dəfə sürət və sürətlənmə istiqamətlərini müqayisə etməliyik.

  1. a (t) = ( frac
    ) dv (t) dt = 20 və mənfi 10t m / s2
  2. v (1 s) = 15 m / s, v (2 s) = 20 m / s, v (3 s) = 15 m / s, v (5 s) = & minus 25 m / s
  3. a (1 s) = 10m / s 2, a (2 s) = 0m / s 2, a (3 s) = & minus10m / s 2, a (5 s) = & minus30m / s 2
  4. T = 1 s olduqda v (1 s) = 15 m / s sürət müsbət, sürət isə müsbət olduğu üçün həm sürət, həm də sürət eyni istiqamətdədir. Hissəcik daha sürətli hərəkət edir.

T = 2 s-də sürət v (2 s) = 20 m / s-ə qədər artmışdır, burada maksimum, sürətlənmənin sıfıra bərabər olduğu zamana uyğun gəlir. Maksimum sürətin sürət funksiyasının yamacının sıfır olduğu zaman meydana gəldiyini görürük, bu da sürətləndirmə funksiyasının yalnız sıfırdır.

T = 3 s-də sürət v (3 s) = 15 m / s, sürət mənfi olur. Hissəcik sürətini azaldıb və sürətləndirmə vektoru mənfidir. Hissəcik yavaşlayır.

T = 5 s-də sürət v (5 s) = & mənfi 25 m / s, sürət getdikcə mənfi olur. T = 3 s və t = 5 s arasında hissəcik sürətini sıfıra endirdi və sonra mənfi oldu və istiqamətini geri çevirdi. Hissəcik indi yenidən sürətlənir, əksinə.

Bu nəticələri qrafik şəklində ( PageIndex <7> ) şəklində görə bilərik.

Şəkil ( PageIndex <7> ): (a) Sürətlə zamana qarşı. Teğet xəttləri 1, 2 və 3 saniyələrdə göstərilir. Tangens xətlərinin yamacları sürətlənmələrdir. T = 3 s-də sürət müsbətdir. T = 5 s olduqda, sürət mənfi olur və hissəciyin tərs istiqamətdə olduğunu göstərir. (b) zamana qarşı sürətlənmə. Qara nöqtələr tərəfindən verilmiş sürətlənmə dəyərlərini (a) -dakı toxunma xətlərinin (qara nöqtələr arasındakı xətlərin yamacları) uyğun yamacları ilə müqayisə etdikdə, eyni olduqlarını görürük.

Əhəmiyyət

Hissəcəyin sürətinin və sürətlənməsinin həm ədədi, həm də qrafik analizini apararaq onun hərəkəti haqqında çox şey öyrənə bilərik. Rəqəmsal analiz hərəkətin ümumi görünüşünü verməkdə qrafik təhlili tamamlayır. Sürətləndirmə funksiyasının sıfırı bu nümunədəki sürətin maksimumuna cavab verir. Həm də bu nümunədə sürət müsbət olduqda və sürətlə eyni istiqamətdə olduqda, sürət artır. Sürətləndirmə sıfıra doğru getdikdə və nəticədə mənfi hala gəldikdə, sürət maksimuma çatır, bundan sonra azalmağa başlayır. Kifayət qədər gözləyiriksə, sürət də mənfi olur, bu da bir istiqamətin tərsliyini göstərir. Bu cür hərəkətin real bir nümunəsi, sürəti maksimuma qədər artan, sonra yavaşlamağa başlayan, dayandıqdan sonra istiqamətini dəyişdirən bir avtomobildir.

Bir təyyarə şərq istiqamətində hərəkət edən bir enmə zolağına enir. Sürətlənməsini təsvir edin.


Balistik Cisimlərin Yolu Paraboldur

Dəyişən və təmiz elektronika və ya daha inkişaf etmiş kompüter idarəetmə sistemləri tərəfindən idarə olunan bir yoldan gedən raketlərdən fərqli olaraq, havaya atılan mərmi, top topu, hissəcik və ya daş kimi ballistik bir cisim işə salındıqdan sonra parabolik bir trayektoriyanı izləyir. Başlatma cihazı (silah, əl, idman avadanlığı və s.) Gövdəyə bir sürət verir və cihazdan ilkin bir sürətlə ayrılır. Aşağıdakı nümunələr, bədənin əldə etdiyi məsafəni və hündürlüyü azaltan hava sürüşməsinin təsirlərini görməməzlikdən gəldi.

Çeşmədən gələn su (hissəciklər axını kimi qəbul edilə bilər) parabolik trayektoriyanı izləyir


Təqib # 4: sürtünmə ilə cazibə: vaxta qarşı məsafə

Tamam, sürtünmənin sürətlə mütənasib olduğu, başlanğıc sıfır sürətdən cazibə sürətinə düşərək V terminal sürətə çatdığı çox tüklü bir şey halını edəcəyəm.F. Sonra t düşdükdən sonra h hündürlüyü verilir:

Qısa bir sürətlənmədən sonra sürtünmənin sürət kvadratı ilə mütənasib olacağı bir top üçün olduğu kimi daha çox yayılmış vəziyyəti həll etmək daha çətindir. O formulu da istəyirsənsə bir proqram istifadə etməli və ya bir yerdə axtarmalı ola bilərəm.

Beləliklə Mathematica düzgün yükləmədi və bunun üzərində yatmaq şansım oldu. Sürtünmənin sürət kvadratı ilə mütənasib olduğu halda, əldə etdiyim budur:

vaxt = (VF/ g) * (üzərində inteqral [1, e ^ (hg / VF^ 2)] dx / sqrt (x ^ 2-1)

Ayrılmaz bir cədvəldən bir neçə kömək ilə:
vaxt = (h / VF) + (VF/ g) * ln (1 + sqrt (1-e ^ (- 2hg / V.)F^2))).

Məhdudlaşdırıcı halları (kiçik h və böyük h) yoxladım və yaxşı görünür.

Əlavə - H məsafənin ifadəsini zaman baxımından, t, daha da messier olacağını düşünərək tərk etdim. Əslində sadədir:


H (t) - sürətlənmə bu qədər böyük olarsa zaman qrafiki müsbət qradiyentə sahib ola bilərmi? - Astronomiya

Ch 2: 4, 9, 12, 14, 19, 21, 29, 39, 40

Suallar 4, 5, 6, 9, 16

Serway'nin dördüncü buraxılışından əlavə problemlər

(4 ed) 2.2 Yeni BMW M3 5.6 saniyədə sıfırdan 60 mil / saata qədər sürətlənə bilər

(a) M / s 2-də yaranan sürətlənmə nə qədərdir?

(b) BMW-nin 60 mil / saat-dan 130 mil / saata keçməsi nə qədər vaxt aparacaqdı bu səviyyədə?

(4 ed) 2.3 İsti hava balonu 5.00 m / s sabit sürətlə şaquli olaraq yuxarıya doğru hərəkət edir. Yerdən 21.0 m hündürdə olduqda, balondan bir paket sərbəst buraxılır.

(a) Sərbəst buraxıldıqdan sonra, paket havada nə qədərdir?

(b) Zəminə təsir etməzdən əvvəl onun sürəti nə qədərdir!

(c) Təkrarlamaq (a)(b) balon işi üçün enən 5.0 m / s-də

(4 ed) 2.4 Rəqib oyunçu 12.0 m / s vahid sürətlə hərəkət edərək disklə patenlə sürüşəndə ​​bir xokkeyçi donmuş gölməçədə konki üzərində dayanır. 3.00 saniyədən sonra ilk oyunçu rəqibini təqib etmək qərarına gəlir. İlk oyunçu 4.00 m / s 2-də bərabər sürətlənirsə,

(a) ona rəqibi tutmaq nə qədər vaxt aparır?

(b) Bu müddətdə ilk oyunçu nə qədər yol qət etdi?

2.Q4 Sürət və sürətlənmənin əks işarələrə sahib olduğu bir vəziyyət ola bilərmi? Əgər belədirsə, fikrinizi sübut etmək üçün bir sürət vaxtı qrafikinin eskizini çəkin.

Əlbəttə. Bir avtomobilin sağa doğru hərəkət etdiyini, lakin sürətinin azaldığını düşünün. Sağ tərəfə keçmək onun sürətinin müsbət olduğunu göstərir. Yavaşlamaq onun sürətinin olduğu deməkdir debüzmə və ya dəyişdirmək sürətdə mənfi və sürət mənfi deməkdir.

2.Q5 Bir hissəcəyin sürəti sıfırdırsa, onun sürətlənməsi sıfır ola bilərmi? İzah edin.

Sürət Sabit sürətlənmə sıfır.

2.Q6 Bir hissəcəyin sürəti sıfıra bərabərdirsə, onun sürətlənməsi sıfır ola bilərmi? İzah edin.

Bir sürət sıfır həm də Sabit sürət və bu, sürətlənmə deməkdir sıfır.

2.Q9 h hündürlüyündə bir binanın zirvəsindəki bir şagird, v sürəti ilə bir topu yuxarıya atıryi və sonra eyni ilkin sürətlə ikinci topu aşağıya atır. Topların yerə çatdıqda son sürətləri necə müqayisə olunur?

Enerji qənaətini öyrəndikdən sonra bu barədə yenidən danışmaq əyləncəli və ya maraqlı olacaq.

Əvvəlcə atılan top yuxarıpalata binanın üst hissəsinin hündürlüyünə qayıdır, sürəti yenidən vyi. Eyni olacaq sürət. Əlbətdə ki sürət olacaq - vyi çünki hərəkət edir aşağı. Yəni əvvəlcə atılan topda eyni sürət və sürətə sahibdir aşağıilkin sürətlə vyi beləliklə iki top da eyni sürətlə yerə dəydi (və sürət!).

2.Q16 Çınqıl su quyusuna atılır və sıçrayış on altı saniyə sonra Şəkildəki & quotBC & quot cizgi filmində göstərildiyi kimi eşidilir. Quyunun yuxarı hissəsindən suyun səthinə qədər məsafəni təxmin edin.

Quyunun yuxarı hissəsindəki məsafələri belə ölçürükmən = 0 və biz damcı çınqılyi = 0, beləliklə bu tənlik

Bu, həqiqətən çox dərin & quotwell & quot; Ancaq bəlkə də tarixdən əvvəlki dövrlərdə quyular daha dərin idi. Təxmini istifadə etsəydik ay = - g = - 10 m / s 2, onda dəyərimiz olardı

Serway və Beichnerin hazırkı (5-ci) buraxılışındakı problemlər.

2.4 Bir hissəcik x = 10 t 2 tənliyinə əsasən hərəkət edir, burada x metrdə, t saniyədədir.

(a) 2,0 saniyədən 3,0 saniyəyə qədər olan zaman intervalı üçün orta sürəti tapın.

x (2 s) = 10 (2) 2 = 10 (4) = 40 m

x (3 s) = 10 (3) 2 = 10 (9) = 90 m

x = x f - x i = x (3 s) - x (2 s) = 90 m - 40 m = 50 m

t = 1.0 s

v orta = x / t = 50 m / 1.0 s = 50 m / s

(b) 2.0 saniyədən 2.1 saniyəyə qədər olan zaman intervalı üçün orta sürəti tapın

x (2 s) = 10 (2) 2 = 10 (4) = 40 m

x (2.1 s) = 10 (2.1) 2 = 10 (4.41) = 44.1 m

x = x f - x i = x (2.1 s) - x (2 s) = 44.1 m - 40 m = 4.1 m

t = 0,1 s

v orta = x / t = 4.1 m / 0.1 s = 41 m / s

[[(c) t = 2.0 s-də ani sürəti tapın

v = dx / dt = dx / dt = 10 & # 91 d (t 2) / dt & # 93 = 10 & # 91 2t & # 93 = 20 t

v (2 s) = 20 (2) = 40 m / s = 40 m / s]]

2.9 X oxu boyunca hərəkət edən bir hissəcik üçün yer-zaman qrafiki Şəkil P2.9-da göstərilmişdir

(a) t = 1.5 s-dən t = 4.0 s-ə qədər olan müddətdə orta sürəti tapın.

x (4,0 s) = 2 m

x = x f - x i = x (4.0 s) - x (1.5 s) = 2 m - 8 m = - 6 m

t = t f - t i = 4.0 s - 1.5 s = 2.5 s

v orta = x / t = - 6 m / 2.5 s = - 24 m / s

Unutmayın, hər hansı bir şey (son dəyər) - (başlanğıc dəyər) deməkdir

(b) qrafada göstərilən toxunma xəttinin meylini ölçərək t = 2,0 s-də ani sürəti təyin edin.

Döngəyə toxunaraq t = 2,0 s-də çəkilmiş xəttin meylini ölçmək üçün xəttin üstündən iki nöqtə götürə bilərik.

Seçə bilərik

(t = 1.0 s, x = 9.0 m)
x = x f - x i = 1.0 m - 9.0 m = - 8.0 m

t = t f - t i = 3.5 s - 1.0 s = 2.5 s

v orta = x / t = - 8.0 m / 2.5 s = - 32 m / s

(c) t-nin hansı qiymətində sürət sıfırdır?

Teğet xəttinin meyli sıfır olduqda sürət sıfırdır (x-, t- qrafasında).

Bu qrafikdə t = 4,0 saniyə ərzində baş verir.

2.12 Bir hissəcik t = 0-da müsbət x istiqamətində v o = 60.0 m / s sürətlə hərəkət edir. T = 0 və t = 15 s arasında sürət sıfıra bərabər azalır. Bu 15 saniyəlik fasilədə orta sürət nə qədərdir. Cavabınızdakı işarənin əhəmiyyəti nədir?

a = v / t

v = v f - v i = v f - v o = 0 - 60 m / s = - 60 m /s

t = 15 s

a = v / t = & # 91 - 60 m / s & # 93 / & # 91 15 s & # 93 = - 4 (m / s) / s = - 4 m / s 2

Eksi işarəsi hissəciyin yavaşladığını bildirir. Sürəti azalır. Bu yavaşlayır.

2.14 Bir hissəcik istirahətdən başlayır və Şəkil P2.14-də göstərildiyi kimi sürətlənir.

(a) hissəcikin t = 10 s və t = 20 s və

Qrafikdən t = 0-dan t = 10 s-ə qədər sürətlənmənin sabit 2.0 m / s 2 olduğunu görərik 2 v = v i + a t

v i = 0

a = 2 m / s 2

v (10 s) = 0 + (2 m / s 2) (10 s)

v (10 s) = 20 m / s

Növbəti beş saniyə ərzində t = 10 s-dən t = 15 s-ə qədər sürət sıfır, yəni sürət sabit qalır,

Növbəti beş saniyə ərzində t = 15 s-dən t = 20 s-ə qədər sürət mənfi, a = - 3.0 m / s 2

v = v i + a t

v i = v (15 s) = 20 m / s

a = - 3 m / s 2

v (20 s) = 20 m / s + (- 3 m / s 2) (5 s)

v (20 s) = 5 m / s

(b) ilk 20 saniyədə qət olunan məsafə

X = x i + v i t + (1/2) a t 2 müxtəlif zaman aralıkları üçün sürətlənmənin dəyərlərini təyin etdik.

x i = 0

v i = 0

a = 2 m / s 2

x (10 s) = 0 + 0 + (1/2) (2 m / s 2) (10 s) 2

x (10 s) = 100 m

Sürət növbəti beş saniyə ərzində (a = 0 -də) sabit qalır (t = 15 s-ə qədər), beləliklə məsafəni sabit sürətlə təsvir edən bu tənliyi tətbiq edə bilərik.

x = x i + v i t + (1/2) a t 2

x i = x (10 s) = 100 m

v i = v (10 s) = 20 m / s

a = 0

x (15 s) = 100 m + (20 m / s) (5 s) + (1/2) (0) (5 s) 2

x (10 s) = 200 m

Sürət növbəti beş saniyə ərzində (t = 20 s-ə qədər) yenidən sabit qalır (a = - 3 m / s 2-də), beləliklə məsafəni sabit sürətlə təsvir edən bu tənliyi tətbiq edə bilərik.

x = x i + v i t + (1/2) a t 2

x i = x (15 s) = 200 m

v i = v (15 s) = 20 m / s

a = - 3 m / s 2

x (20 s) = 200 m + (20 m / s) (5 s) + (1/2) (- 3 m / s 2) (5 s) 2

x (20 s) = 262.5 m

2.19 Şəkil P2.19, motosiklçinin istirahətdən başlayaraq düz bir xətt üzrə hərəkət edərkən hərəkəti üçün v ilə t arasında bir qrafik göstərir.

(a) t o = 0 -dan t 1 = 6.0 s-ə qədər olan zaman intervalı üçün orta sürətlənməni tapın.

Qrafikdən bu zaman üçün sürətləri oxuya bilərik v 1 = v (t 1) = v (6 s) = 8 m / s

v o = v (t o) = v (0 s) = 0

v = v 1 - v o = 8 m / s - 0 = 8 m / s

t = 6.0 s

a = v / t = & # 918 m / s & # 93 / & # 916 s & # 93 = 1.33 m / s 2

a = 1,33 m / s 2

(b) sürətlənmənin ən böyük müsbət dəyərə sahib olduğu vaxtı və bu anda sürətlənmənin dəyərini qiymətləndirin.

Və orada, nöqtələrdən keçən bir toxunma xəttinin cizgisini çəkərək yamacı qiymətləndirirəm

(t = 1 s, v = 0) və (t = 6 s, v = 10 m / s)

v = v f - v i = 10 m / s - 0 = 10 m / s

t = 6.0 s

a = v / t = & # 9110 m / s & # 93 / & # 916 s & # 93 = 1.67 m / s 2

a = 1,67 m / s 2

(c) Sürətləndirmə nə vaxt sıfırdır?

(d) sürətlənmənin maksimum mənfi dəyərini və baş verdiyi vaxtı qiymətləndirin.

Sürətləndirmə, Şəkil P2.23 kimi sürət-zaman qrafikindəki xəttin meylidir. Yamac t = 0-dan t = 10 saniyəyə qədər mənfi olur. Bu müddət ərzində yamac təxminən t = 8 s-də ən böyük (mənfi) görünür. T burada yamacları nöqtələrdən (t = 6 s, v = 10 m / s) və (t = 11 s, v = 0 m / s) keçən bir toxunma xətti çəkərək qiymətləndirirəm.

v = v f - v i = 0 m / s - 10 m / s = - 10 m / s

t = 5,0 s

a = v / t = & # 91- 10 m / s & # 93 / & # 915 s & # 93 = - 1.8 m / s 2

a = - 1.8 m / s 2

2.21 1865-ci ildə Jules Verne, son sürəti 10.97 km / s olan 220 metr uzunluğunda bir topdan kosmik kapsul ataraq insanları Aya göndərməyi təklif etdi. Kosmosa səyahət edənlərin uçuş zamanı yaşadığı qeyri-real böyük sürətlənmə nə olardı? Cavabınızı sərbəst düşmə sürətini 9,8 m / s 2 ilə müqayisə edin.

Əvvəlcə son sürəti m / s vahidlərinə dəyişək, bunu demək olar ki, başımızda edə bilərik.

2.29 Bir sürükləyici avtomobilini istirahətdən başlayır və 400 m (1/4 mil) məsafədə 10.0 m / s 2 sürətlənir.

(a) Avtomobil bu məsafəni qət etmək üçün nə qədər vaxt sərf etdi?

x = x i + v i t + (1/2) a t 2

400 m = 0 + 0 + (1/2) (10 m / s 2) t 2

t 2 = 80 s 2

t = 8.94 s

b) Qaçışın sonunda sürəti nə qədərdir?

v = v i + a t

v = 0 + (10 m / s 2) (8.94 s)

v = 89.4 m / s

v = 89.4 m / s & # 91 3600 s / s & # 93 & # 91 km / 1000 m & # 93 = 322 km / s

v = 322 km / s & # 91 mi / 1.61 km & # 93 = 200 mi / s

2.39 9.0 m uzunluğunda meylli bir təyyarədən aşağıya doğru hərəkət edərkən top 0,5 m / s 2 sürətlənir. Dibə çatdıqda, top başqa bir təyyarəni yuvarlayır, burada 15 m hərəkət etdikdən sonra istirahətə gəlir.

(a) İlk təyyarənin altındakı topun sürəti nə qədərdir?

v 2 = v i 2 + 2 a (x - x i)

v 2 = 0 2 + 2 (0,5 m / s 2) (9 m) = 9 m 2 / s 2

v = 3 m / s

(b) Birinci təyyarəni aşağı salmaq üçün nə qədər vaxt lazımdır?

v = v i + a t

3 m / s = 0 + (0,5 m / s 2) t

t = 6 s

(c) İkinci müstəvidə sürət nə qədərdir?

A-nın hansı dəyəri topa sahibdir

məsafəni qət etdikdən sonra

x - x i = 15 m

v 2 = v i 2 + 2 a (x - x i)

0 2 = (3 m / s) 2 + 2 a (15 m)

a = - 0,3 m / s 2

(d) Topun ikinci təyyarə boyunca 8.0 m sürəti nə qədərdir?

v 2 = v i 2 + 2 a (x - x i)

v 2 = (3 m / s) 2 + 2 (- 0,3 m / s 2) (8 m)

v 2 = (9 - 4.8) (m 2 / s 2) = 4.2 m 2 / s 2

v = 2.05 m / s

2.40 30 m / s sürətlə hərəkət edən Speedy Sue tək zolaqlı bir tunelə girir. Daha sonra 5.0 m / s sürətlə hərəkət edən 155 m qabaqda yavaş hərəkət edən bir mikroavtobusu müşahidə edir. Sue əyləcini sıxır, lakin yol nəm olduğundan yalnız 2.0 m / s 2 sürətlənə bilər. Bir toqquşma olacaqmı?

Varsa, tuneli nə qədər uzaqlaşdırdığınızı və toqquşmanın nə vaxt baş verdiyini təyin edin.

Xeyrsə, Sue-nin avtomobili ilə mikroavtobus arasındakı ən yaxın məsafəni təyin edin.

Tunelin girişindəki məsafələri ölçəcəyik.

V a mövqeyi verilir

x van = x v = x vi + v vi t + (1/2) a v t 2

x vi = 155 m

v vi = 5.0 m / s

a v = 0

x v = 155 m + (5.0 m / s) t + 0

x v = 155 m + (5,0 m / s) t

Speedy Sue nin c ar mövqeyi verilir

x avtomobil = x c = x ci + v ci t + (1/2) a c t 2

x ci = 0

v ci = 30.0 m / s

a c = - 2.0 m / s 2

x c = 0 + (30 m / s) t + (1/2) (- 2.0 m / s 2) t 2

x c = (30 m / s) t + (1/2) (- 2.0 m / s 2) t 2

Bir toqquşmanın olub olmadığını müəyyən etmək üçün bu iki mövqeyi bir-birinə bərabər şəkildə təyin edə bilərik (toqquşma olarsa olduğu kimi) və bu toqquşmanın baş verdiyi vaxt t üçün həll edə bilərik.

x c = x v

(30 m / s) t + (1/2) (- 2.0 m / s 2) t 2 = 155 m + (5.0 m / s) t

(1 m / s 2) t 2 + (- 25 m / s) t + 155 m = 0

Bu, artıq bir kvadrat tənliyin "standart formasında",

Beləliklə, indi t üçün həll etmək üçün kvadratik tənlikdən istifadə edə bilərik. Vahidləri açıq şəkildə saxlaya bilərik və ya vahidlərin ardıcıl olmasını təmin edə bilərik və sadəcə yazırıq

T = 11.4 saniyə və ya t = 13.6 saniyə

Toqquşma tunelə girdikdən 11.4 saniyə sonra baş verir. Riyazi olaraq t = 13.6 s eyni zamanda bir həlldir, lakin toqquşma ondan təxminən iki saniyə əvvəl artıq baş verib!

Serway'nin dördüncü buraxılışından əlavə problemlərə həll yolları

(4 ed) 2.1 Z oxu boyunca hərəkət edən bir hissəcik üçün yer-zaman qrafiki köhnə Şəkil P2.14-də göstərildiyi kimidir. Sürətin zaman-zaman müsbət, mənfi və ya sıfır olduğunu müəyyənləşdirin

a) t1 toxunma xəttinin yamacı kimi sürət sıfır

b) t2 toxunma xəttinin yamacı kimi sürət mənfi

c) t3 toxunma xəttinin yamacı kimi sürət müsbət

d) t4 toxunma xəttinin yamacı kimi sürət sıfır

(4 ed) 2.2 Yeni BMW M3 5.6 saniyədə sıfırdan 60 mil / saata qədər sürətlənə bilər

(a) M / s 2-də yaranan sürətlənmə nə qədərdir?

a = v / t = & # 91 60 mi / s & # 93 / 5.6 s = 10.7 (mi / h) / s

a = 10,7 mil / s / s

a = 10,7 mil / (h - s) & # 91 1.61 km /mi & # 93 & # 91 1000 m /km & # 93 & # 91 h /3600 s& # 93 = 4.79 m / s 2

a = 4.79 m / s 2

(b) BMW-nin 60 mil / saat-dan 130 mil / saata keçməsi nə qədər vaxt aparacaqdı bu səviyyədə?

Yəni 6,45 saniyə kənarda 60 mil / s-ə çatmaq üçün tələb olunan 5.6 s. The ümumi vaxtolacaq

(4 ed) 2.3 İsti hava balonu 5.00 m / s sabit sürətlə şaquli olaraq yuxarıya doğru hərəkət edir. Yerdən 21.0 m hündürdə olduqda, balondan bir paket sərbəst buraxılır.

(a) Sərbəst buraxıldıqdan sonra, paket havada nə qədərdir?

İlkin sürətini və ilkin vəziyyətini bilirik

Paketin sonrakı mövqeyi

İndi y = 0 təyin etdik və t üçün həll edirik

Əvvəlki kimi vahidləri açıq şəkildə daşıya bilərik və ya ardıcıl vahidlərimiz olmasını təmin edib onları atıb yalnız yaza bilərik

Dördrətli tənlikdən t-nin iki həllini tapırıq

Fiziki olaraq yalnız t & gt 0 həlləri ilə maraqlanırıq. Riyazi olaraq tənliyimiz yalnız t & gt 0 üçün keçərlidir, çünki yalnız etibarlıdır sonra paket buraxılır. Beləliklə, yalnız t istifadə edirik1.

(b) Zəminə təsir etməzdən əvvəl onun sürəti nə qədərdir!

Sərbəst buraxıldıqdan sonra paketin sürəti verilir v = vmən + a t

v = 5 m / s + (- 9.8 m / s 2) t

v = 5 m / s + (- 9.8 m / s 2) (2.64 s)

v = - 20.9 m / s

Əlbətdə mənfi işarəsi sürətin yönəldiyini göstərir aşağı.

(c) Təkrarlamaq (a)(b) balon işi üçün enən 5.0 m / s-də

İlkin sürətini və ilkin vəziyyətini bilirik

Paket, şar ilə birlikdə indi hərəkət edir aşağı və bu, sürətdəki mənfi işarə kimi görünür

Paketin sonrakı mövqeyi

y = ymən + vmən t + (1 /2) a t 2

y = 21 m + (- 5 m / s) t + (1 /2) (- 9,8 m / s 2) t 2

İndi y = 0 təyin etdik və t üçün həll edirik

Əvvəlki kimi vahidləri açıq şəkildə daşıya bilərik və ya ardıcıl vahidlərimiz olmasını təmin edib onları atıb yalnız yaza bilərik

Dördrətli tənlikdən t-nin iki həllini tapırıq

Fiziki cəhətdən yalnız t & gt 0 həlləri ilə maraqlanırıq. Riyazi olaraq tənliyimiz yalnız t & gt 0 üçün keçərlidir, çünki yalnız etibarlıdır sonra paket buraxılır. Beləliklə, yalnız t istifadə edirik1.

Sərbəst buraxıldıqdan sonra paketin sürəti verilir

v = vmən + a t

v = - 5 m / s + (- 9.8 m / s 2) t

v = - 5 m / s + (- 9.8 m / s 2) (1.62 s)

v = - 20.9 m / s

Sürətlərin eyni olduğuna diqqət yetirin. Daha sonra bunu enerji qənaəti baxımından izah edə bilərik. The kinetik enerji paketin atılması ilə eynidir yuxarıv = + 5 m / s ilə və ya atıldığı təqdirdə aşağı v = - 5 m / s ilə.

(4 ed) 2.4 Rəqib oyunçu 12.0 m / s vahid sürətlə hərəkət edərək disklə patenlə sürüşəndə ​​bir xokkeyçi donmuş gölməçədə konki üzərində dayanır. 3.00 saniyədən sonra ilk oyunçu rəqibini təqib etmək qərarına gəlir. Birinci oyunçu 4.00 m / s 2-də bərabər sürətlənirsə,

(a) ona rəqibi tutmaq nə qədər vaxt aparır?

İki oyunçunun ilkin sürətlərini və sürətlənmələrini bilirik, a1 = 4 m / s 2, a2 = 0

v1i = 0, v2i = 12 m / s

x1i = x2i = 0

2 nömrəli oyunçu mövqeyi verilir

İlə ehtiyatlı olun vaxt. 1 nömrəli oyunçunun 3 saniyə gözləməsini nəzərə almalıyıq. Bunun hesabı ilə 1 nömrəli oyunçunun mövqeyini hesablaya bilərik

Əlbəttə ki, bu tənlik yalnız t & gt 3 s üçün mənalıdır.

İndi x təyin etdik1 = x2 və vaxt t həll edin.

Ya bölmələri açıq şəkildə saxlaya bilərik, ya da ardıcıl vahidlərimizə sahib olduğumuzu təmin edib sadəcə yaza bilərik

2 (t 2 - 6t + 9) = 12t

2 t 2 - 12 t + 18 = 12 t

2 t 2 - 24 t + 18 = 0

t 2 - 12 t + 9 = 0

Bu kvadrat tənliyin iki həlli var,

Lakin 1 nömrəli oyunçu mövqeyi üçün tənlik t üçün keçərli deyil2 & lt 3 s, buna görə yalnız t saxlayırıqx,

(b) Bu müddətdə ilk oyunçu nə qədər yol qət etdi?

İndi harada bu anda oyunçu 2 (və buna görə də oyunçu # 1 də)? x2 = x2i + v2i t + (1 /2) a2 t 2

x2 = (12 m / s) t

x2 = (12 m / s) (11.2 s)

x2 = 134.4 m


Cavablar və cavablar

Xeyr, kosmologiyada sürətlənmə dediyimiz bu deyil. Genişlənməni xarakterizə edən müəyyən bir sürət yoxdur. Bəzi sürətin zamanla dəyişməsindən danışmırıq.

Terminin necə istifadə olunduğunu izah etməyə çalışacağam.

Əvvəlcə məsafənin yüzdə bir böyümə sürəti olan Hubble dərəcəsi (məsafələrin böyüdüyü, ancaq qalaktikaların kiçik təsadüfi hərəkətlər xaricində hərəkət etmədiyi universal istirahət çərçivəsində ölçülən) fikrini öyrənin.

Hubble dərəcəsi ilk günlərdən bəri azalır və azalmağa davam edəcəyi gözlənilir, lakin daha az sürətlə. Hal-hazırda hər milyon ildə yüzdə 1/140'dır. Yəni orta hesabla genişlənmə məsafələri (istirahətdə olan obyektlər arasında) hər milyon ildə yüzdə 1/140 nisbətində artır.

Müəyyən bir sürüşmə üçün, uzaq qalaktikanın indi gördüyümüz həmin qırmızı sürüşməyə sahib olan işığı yayıldığı zaman Hubble nisbətinin o zaman nə olduğunu söyləyən onlayn kalkulyatorlar var.

Sonra haqqında məlumat əldə edin miqyaslı amil a (t) zamanın funksiyası. Konvensiyaya görə a (indiki) = 1.
Hubble nisbətinin a '(t) / a (t) -ə bərabər olduğu ortaya çıxdı. Bu, miqyaslı amilin törəməsinin və ya meylinin miqyaslı amilin özünə nisbəti. Vahid vaxta görə kəsirli bir artım. Bir '(t) / a (t) məsafəsini vahid vaxt başına yüzdə artım olaraq ifadə edə bilərsiniz.

a (t) bir sürət deyil. a '(t) bir sürət deyil. Hubble sürəti bir sürət deyil (sabit obyektlər arasındakı məsafələrin faiz nisbətində artım sürətidir).

a (t) və Hubble dərəcəsi bir tənlik və ya daha dəqiq bir cüt tənlik tərəfindən idarə olunur. Bunlar sadə tənliklərdir, amma tənbəllik üzündən demək olar ki, həmişə sizin üçün avtomatik həll edən hazır onlayn kalkulyatorlardan istifadə edirəm.

Kosmologiyada genişlənmənin sürətlənməsi və ya & quot; artırılması & quot; ilə nəzərdə tutulan şey budur ikinci törəmə a (t) miqyaslı faktorun a & quot (t) müsbətdir.

A (t) nəinki zamanla artır, həm də yamac a (t) əyrisi artır.

Bir '(t)' nin necə artdığını və Hubble nisbətinin '' (t) / a (t) 'in necə azalacağını başa düşürsən?
Bəzən bankdakı pulları düşünməyə kömək edir --- bankın əmanətçilərə ödədikləri faiz nisbətinin tədricən azaldığı bir əmanət hesabında deyək. Ancaq hesabınızdakı ümumi dollarlar hər il daha çox və daha çox bir məbləğdə artmağa davam edir. Çünki bank faiz dərəcələrini yalnız çox yavaşca azaldır.

Adi hərəkət və ya sürət baxımından düşünməyin bunu anlamağınıza kömək edəcəyinə inanmıram. Məsafə dəyişikliyi, bildiyimiz kimi hərəkət deyil, * həndəsə * dəki dəyişiklik kimi düşünmək üçün əlverişlidir. Hamının məsafələri uzanır və heç kim bununla heç yerə getmir. Nisbi mövqelər dəyişmir (böyük mənzərəyə təsiri əhəmiyyətsiz olan kiçik fərdi təsadüfi hərəkətlər xaricində).


3.2 Ani sürət və sürət

İndi iki mövqe arasındakı orta sürətin necə hesablanacağını gördük. Lakin real aləmdəki cisimlər məkan və zaman boyunca davamlı hərəkət etdikləri üçün cismin sürətini istənilən nöqtədə tapmaq istəyirik. Cisimin sürətini hesablamanın bəzi əsas prinsiplərindən istifadə edərək yolunun istənilən yerində tapa bilərik. Bu bölüm bizə hərəkət fizikası haqqında daha yaxşı məlumat verir və sonrakı fəsillərdə faydalı olacaqdır.

Ani sürət

Bir cismin öz yolu boyunca hər yerdə nə qədər sürətli hərəkət etdiyini izah edən kəmiyyət ani sürət, ümumiyyətlə sadə adlanır sürət. İki nöqtə arasındakı vaxtın (və bu səbəbdən yerdəyişmənin) sıfıra yaxınlaşdığı sərhəddəki yoldakı iki nöqtə arasındakı orta sürətdir. Bu fikri riyazi şəkildə göstərmək üçün mövqe bildirməliyik x davamlı bir funksiyası kimi t ilə işarələnmişdir x(t). Bu qeyddən istifadə edərək iki nöqtə arasındakı orta sürətin ifadəsidir

. İstənilən vəziyyətdə ani sürəti tapmaq üçün icazə veririk

. Bu ifadələri orta sürət tənliyinə daxil etdikdən və hüdudu götürdükdən sonra

, ani sürətin ifadəsini tapırıq:

Bir cismin ani sürəti, keçən zaman sıfıra yaxınlaşdıqda orta sürət həddidir və ya x hörmətlə t:

Orta sürət kimi, ani sürət də hər dəfə uzunluq ölçüsü olan bir vektordur. Müəyyən bir zaman nöqtəsində ani sürət

mövqe funksiyasının meyli olan mövqe funksiyasının dəyişmə sürətidir

. (Şəkil) orta sürətin necə olduğunu göstərir

anlıq sürətə iki dəfə yaxınlaşır

Ani sürət vaxtında göstərilir

, bu, mövqe funksiyasının maksimumunda olur. Bu nöqtədə mövqe qrafikinin meyli sıfırdır və beləliklə ani sürət sıfırdır. Digər vaxtlarda

, və s. Anlık sürət sıfır deyil, çünki mövqe qraflığının yamacı müsbət və ya mənfi olardı. Mövqe funksiyası minimum olsaydı, mövqe qraflığının yamacı da sıfır olardı və orada da ani bir sürət verərdi. Beləliklə, sürət funksiyasının sıfırları mövqe funksiyasının minimum və maksimumunu verir.

Şəkil 3.6 Vaxtla müqayisədə bir mövqe qrafikində ani sürət müəyyən bir nöqtədəki toxunma xəttinin meylidir. Orta sürətlər

, orta sürət at sürətə yaxınlaşır

Misal

Mövqeyə qarşı vaxt qrafikindən sürət tapmaq

(Şəkil) -in zamanla müqayisəli qrafiki nəzərə alınmaqla, sürət-zaman qrafikini tapın.

Şəkil 3.7 Cisim müsbət istiqamətdə başlayır, qısa müddətə dayanır və sonra mənşəyə doğru geri dönərək istiqaməti geri qaytarır. Diqqət yetirin ki, cisim anında dincəlir, bunun üçün sonsuz bir qüvvə lazımdır. Beləliklə, qrafik real dünyada bir hərəkətin təqribidir. (Güc anlayışı Newton’un Hərəkət Qanunlarında müzakirə olunur.)

Strategiya

Qrafik üç zaman aralığında üç düz xətt ehtiva edir. Hər zaman aralığında sürəti hörgüdən istifadə edərək xəttin yamacını götürərək tapırıq.

Həll

[aşkar-cavab q = & # 8221508307 & # 8243] Cavabı göstər [/ aşkar-cavab]
[hidden-answer a = & # 8221508307 & # 8243] 0 saniyədən 0,5 saniyəyə qədər olan vaxt intervalı:

Vaxt aralığı 0,5 saniyədən 1,0 saniyəyə qədər:

Vaxt aralığı 1.0 saniyədən 2.0 saniyəyə qədər

Bu sürət dəyərlərinin zamana qarşı qrafiki (şəkil) göstərilmişdir.

Şəkil 3.8 Sürət səfərin ilk hissəsi üçün müsbətdir, obyekt dayandırıldıqda sıfır, obyekt istiqamətini dəyişdirəndə mənfi olur.

Əhəmiyyət

0 s ilə 0,5 s arasındakı zaman aralığında obyektin mövqeyi mənşəyindən uzaqlaşır və zamanla müqayisədə əyrisi müsbət bir meyl göstərir. Bu zaman intervalı boyunca əyri boyunca istənilən nöqtədə (Şəkil) də göstərildiyi kimi +1 m / s olan meylini götürərək ani sürəti tapa bilərik. Sonrakı zaman aralığında, 0,5 saniyədən 1,0 saniyə arasında mövqe dəyişmir və yamacın sıfır olduğunu görürük. 1,0 saniyədən 2,0 saniyəyə qədər obyekt yenidən mənşəyə doğru irəliləyir və yamac −0,5 m / s-dir. Obyekt tərs istiqamətə çevrilib və mənfi sürətə malikdir.

Sürət

Gündəlik dildə, insanların çoxu şərtləri istifadə edir sürətsürət bir-birini əvəz edə bilər. Fizikada isə eyni məna daşımır və fərqli anlayışlardır. Əsas fərqlərdən biri sürətin bir istiqamətə sahib olmamasıdır, sürət skalardır.

Hesablaya bilərik orta sürəti keçən məsafəyə bölünərək ümumi məsafəni tapmaqla:

Orta sürət mütləq ümumi yerdəyişmənin böyüklüyünü keçən vaxta bölməklə tapılan orta sürətin böyüklüyü ilə eyni deyil. Məsələn, bir səyahət eyni yerdə başlayır və bitərsə, ümumi yerdəyişmə sıfırdır və bu səbəbdən də orta sürət sıfırdır. Bununla yanaşı, orta sürət sıfır deyil, çünki ümumi məsafə sıfırdan böyükdür. 300 km yol səyahətinə çıxsaq və müəyyən bir vaxtda təyinat yerimizdə olmağımız lazım olsa, o zaman orta sürətimizlə maraqlanarıq.

Ancaq hesablaya bilərik ani sürət ani sürətin böyüklüyündən:

Bir hissəcik. Boyunca hərəkət edirsə x-7.0 m / s-də ekssens və başqa bir hissəcik eyni ox boyunca −7.0 m / s-də hərəkət edir, fərqli sürətlərə malikdir, lakin hər ikisi eyni sürətə 7.0 m / s-dir. Bəzi tipik sürətlər aşağıdakı cədvəldə göstərilir.

Ani sürətin hesablanması

Ani sürəti hesablayarkən mövqe funksiyasının açıq formasını təyin etməliyik x(t). Hələlik çox polinomlardan istifadə edək

, çünki hesablama güc qaydasından istifadə edərək asanlıqla fərqlənirlər:

Aşağıdakı nümunə (Şəkil) istifadəsini göstərir.

Misal

Ani sürət orta sürətə qarşı

Bir hissəcikin yeri

    (Şəkil) və (Şəkil) istifadə edərək, anlıq sürəti tapın

Strateji (şəkil) hissəciklərin ani sürətini mövqe funksiyasının törəməsi kimi verir. Verilən mövqe funksiyasının formasına baxanda bunun çox polinom olduğunu görürük t. Buna görə də həll yolunu tapmaq üçün hesablama güc qaydasını (şəkil) istifadə edə bilərik. Parçacığın orta sürətini hesablamaq üçün (Şəkil) istifadə edirik.

Həll

.Əvəz t = Bu tənlik 2.0 saniyə verir

O zaman orta sürət

Əhəmiyyət

Zaman aralığını hesablamaq üçün istifadə olunan həddə

üçün alınan dəyər sıfıra gedir

dəyərinə yaxınlaşır v.

Misal

Ani sürət sürətə qarşı

Mövqenin olduğu bir hissəcikin hərəkətini düşünün

  1. Ani sürət nədir t = 0,25 s, t = 0.50 s və t = 1.0 s?
  2. Bu zaman hissəciyin sürəti nə qədərdir?

Strategiya

Ani sürət mövqe funksiyasının törəməsidir və sürət ani sürətin böyüklüyüdür. Ani sürət üçün həll etmək üçün (Şəkil) və (Şəkil) istifadə edirik.

Həll

Əhəmiyyət

Parçanın sürəti bizə hissəcikin sola (qərbə) və ya sağa (şərqə) doğru hərəkət etdiyini göstərən istiqamət məlumat verir. Sürət sürətin böyüklüyünü verir. Mövqeyi, sürəti və sürəti zamanın funksiyaları kimi qrafiklə təsvir edərək bu anlayışları əyani şəkildə başa düşə bilərik (şəkil). (A) -də qrafik hissəciyin qədər müsbət istiqamətdə hərəkət etdiyini göstərir t = İstiqamət tərsinə döndükdə 0,5 s. İstiqamətin geri çevrilməsi (b) də sürətin sıfır olduğu və sonra mənfi olduğu 0,5 saniyədə də görünə bilər. 1.0 saniyədə yenidən başladığı yerdən qayıdır. Parçacığın (b) içərisində 1.0 s sürət mənfi, çünki mənfi istiqamətdə hərəkət edir. Lakin (c) -də sürəti müsbətdir və səyahət müddətində pozitiv olaraq qalır. Sürəti mövqeyə və zamana qarşı qrafikin meyli kimi də izah edə bilərik. Yamacı x(t) sıfıra doğru azalır, 0,5 saniyədə sıfra çevrilir və bundan sonra getdikcə mənfi olur. Mövqe, sürət və sürət qrafiklərini müqayisə edən bu analiz hesablamalarda səhvlərin tutulmasına kömək edir. Qrafiklər bir-birinə uyğun olmalı və hesablamaları şərh etməyə kömək etməlidir.

Şəkil 3.9 (a) Vəzifə: zamana qarşı x (t). (b) Sürət: zamana qarşı v (t). Mövqe qrafikinin yamacı sürətdir. Teğet xəttlərinin (a) -dakı 0.25 s, 0.5 s və 1.0 s-dəki yamaclarının uyğun zamanlarda sürət qiymətləri ilə kobud müqayisəsi onların eyni dəyərlər olduğunu göstərir. (c) sürət:

zamana qarşı. Sürət həmişə müsbət rəqəmdir.

Anlayışınızı yoxlayın

Bir cismin zamanın funksiyası kimi mövqeyi

. (a) Zamanın funksiyası olaraq cismin sürəti nə qədərdir? (b) Sürət heç müsbətdirmi? (c) Sürət və sürət nədir t = 1.0 s?

[reve-answer q = & # 8221fs-id1168326791024 & # 8243] Çözümü göstər [/ reve-answer]

(a) -in törəməsini götürmək x(t) verir v(t) = −6t Xanım. (b) Xeyr, çünki zaman heç vaxt mənfi ola bilməz. (c) sürət v(1.0 s) = −6 m / s və sürət

Xülasə

  • Ani sürət zamanın fasiləsiz bir funksiyasıdır və bir hissəcik hərəkəti zamanı zamanın istənilən nöqtəsində sürət verir. Bizə ani sürətin funksional formasını verən mövqe funksiyasının törəməsini götürərək ani sürəti müəyyən bir zamanda hesablaya bilərik. v(t).
  • Ani sürət bir vektordur və mənfi ola bilər.
  • Ani sürət, ani sürətin mütləq dəyərini alaraq tapılır və həmişə müsbətdir.
  • Orta sürət, keçən zamana bölünərək ümumi məsafəni göstərir.
  • Müəyyən bir zamanda mövqeyə və zamana qarşı qrafın meylli olması o anda ani sürət verir.

Konseptual suallar

Orta sürətlə orta sürətin böyüklüyü arasında bir fərq var. Bu iki kəmiyyət arasındakı fərqi göstərən bir nümunə verin.

[açığa-cavab q = & # 8221fs-id1168329402518 & # 8243] Çözümü göstər [/ aşkar-cavab]

Orta sürət, keçən müddətə bölünərək ümumi məsafəni göstərir. Gəzintiyə çıxırsınızsa, evdən çıxıb qayıdırsınızsa, orta sürətiniz müsbət bir rəqəmdir. Orta sürət = Yer dəyişdirmə / Keçən vaxt olduğundan orta sürətiniz sıfırdır.

Bir avtomobilin sayğacı sürəti və ya sürəti ölçürmü?

Bir avtomobil səyahətində qət etdiyi ümumi məsafəni (odometr tərəfindən təyin olunduğu kimi) gediş müddətinə bölsəniz, orta sürəti və ya orta sürətin böyüklüyünü hesablayırsınız? Bu iki miqdar hansı hallarda eyni olur?

[açığa-cavab q = & # 8221fs-id1168326927108 & # 8243] Çözümü göstər [/ aşkar-cavab]

Orta sürəti. Avtomobil eyni istiqamətdə deyilsə, eynidir.

Ani sürət və ani sürət bir-biri ilə necə əlaqəlidir? Onlar necə fərqlənirlər?

Problemlər

Bir meşə, 5 saniyədə sağa 20 m qaçır, sonra dönür və 3 saniyədə 10 m sola qaçır. (a) Meşə ağacının orta sürəti nə qədərdir? b) orta sürəti nə qədərdir?

Sürətə qarşı zaman qrafikini aşağıdakı mövqeyə və zamana görə qrafadan eskiz edin.


[aşkar-cavab q = & # 8221219361 & # 8243] Cavabı göstər [/ aşkar-cavab]
[gizli cavab a = & # 8221219361 & # 8243][/ gizli cavab]

Sürətə qarşı zaman qrafikini aşağıdakı mövqeyə və zamana görə qrafadan eskiz edin.

Aşağıdakı sürətə qarşı vaxt qrafikini nəzərə alaraq, mövqeyə və zamana dair qrafiki eskiz kimi təsvir edin.


[aşkar-cavab q = & # 8221284226 & # 8243] Cavabı göstər [/ aşkar-cavab]
[gizli cavab a = & # 8221284226 & # 8243][/ gizli cavab]

Bir obyektin bir mövqe funksiyası var x(t) = 5t m. (a) Zamanın funksiyası kimi sürət nədir? (b) Mövqe funksiyası və sürət funksiyasının qrafiki.

Bir hissəcik. Boyunca hərəkət edir x-görə ox

. (a) Ani sürət nədir t = 2 s və t = 3 s? b) bu ​​anlarda sürət nə qədərdir? (c) arasındakı orta sürət nə qədərdir t = 2 s və t = 3 s?

[aşkar-cavab q = & # 82217006 & # 8243] Cavabı göstər [/ aşkar-cavab]
[gizli cavab a = & # 82217006 & # 8243] a.

Əsassız nəticələr. Bir hissəcik. Boyunca hərəkət edir x-axsi görə

. Hissəcəyin sürəti sıfıra bərabərdir? Bu məqbulmu?


Uzun müddətli davranış

PDMP-lər Davis (1984) tərəfindən tanıdılandan bəri son onilliklər ərzində geniş araşdırmalara məruz qalmışdır. Keçmişdə əldə edilmiş nəticələrin çoxu SGP-yə də aiddir. Beləliklə, SGD-nin PDMP görünüşü bizə geniş bir analitik alət dəstinə giriş imkanı verir. Bunlar qarışıq xüsusiyyətlərini və ya alqoritmin stasionar paylanmalara yaxınlaşma və erqodiklik kimi uzun müddətli davranışlarını öyrənməyə imkan verir.

Aşağıda, Bakhtin and Hurth (2012), Benaïm et al. (2012), Benaïm et al. (2015), Cloez and Hairer (2015) və Kushner (1984) SGP-nin uzun müddət davam edən davranışlarını öyrənmək üçün. Həqiqətən, SGPC və SGPD-nin yaratdığı proseslərin bənzərsiz bir stasionar ölçüyə malik olduğu və erqodik və ya hədsiz dərəcədə erqodik olduğu fərziyyələrini verəcəyik. SGPD üçün xüsusilə (< bar < varPhi >> ) minimumuna yaxınlaşma mövzusunu müzakirə edirik. İddialarımızı sübut etdikdən sonra, xətti ən kiçik kvadrat qiymətləndirmə problemləri ilə bağlı tələb olunan fərziyyələri müzakirə edirik.

İlkin mərhələlər

Aşağıdakılarda tələb olunacaq bəzi qeydləri və əsas faktları toplayırıq. Əvvəlcə bir məsafə ölçüsü təyin edirik X bəziləri üçün (q in (0,1] ):

(D ') bir metrikdir X və ((X, d ') ) bir Polşa məkanını təşkil edir, yəni ayrılabilir və tamamlanır. ( Pi, pi ') ((X, < mathcal) üzrə iki ehtimal ölçüsü olsun > X) ). Biz Wasserstein (-1) məsafə bu tədbirlər arasında

harada ( mathrm ( pi, pi ') ) çoxluqdur muftalar ( pi, pi '). Bu ehtimal tədbirləri məcmusudur H üzərində ((X dəfə X, < mathcal > X otimes < mathcal > X) ), (H ( cdot dəfə X) = pi ) və (H (X dəfə cdot) = pi ') ilə. Qeyd edək ki, (d ') sərhədliyi sayəsində məsafə (< mathrm _q> ) hər iki ( pi, pi ') ehtimal ölçüsü üçün yaxşı müəyyən edilmişdir ((X, < mathcal) > X) ). Həqiqətən, (d ') sərhədliliyi də (< mathrm) içindəki yaxınlaşmanı nəzərdə tutur. _q> ) ((X, < mathcal) üzərində zəif yaxınlaşmaya bərabərdir > X) ). Sonda qeyd edək ki, (d ') metrik olması bunun (< mathrm _q> ) metrikdir. Ətraflı məlumat üçün Villani'nin kitabındakı Fəsil 6-ya baxın (2009). Əlavə olaraq Wasserstein məsafəsini (< mathrm) təyin edirik > _ < Vert cdot Vert> ), metrik (d ') normadan qaynaqlanan metriklə əvəz edildikdə ((x, x') mapsto Vert xx ' Vert ) . Üstəlik Dirac ölçüsü ( theta _0 in X ) , delta ( cdot - theta _0) ilə cəmlənmişdir: = < mathbf <1>> [ theta _0 in cdot]. )

Bundan sonra axın ( varphi _i: X times [0, infty) rightarrow X ) ilə əlaqəli mən-ci potensial ( varPhi _i ), üçün (i in I ). Xüsusilə, ( varphi _i ) təmin edir

hər hansı bir (i in I ) və ( theta _0 in X ) üçün. Eynilə, proseslərlə əlaqəli Markov ləpələrini təyin edirik (( theta (t)) _) və (( xi (t)) _) :

$ başlayın mathrm _t (B | theta _0, i_0) & amp = mathbb

( theta (t) in B | theta (0) = theta _0, << varvec>> (0) = i_0) & amp qquad (B in < mathcal > X, i_0 I, theta _0 in X), mathrm _(B | xi _0, j_0) & amp = mathbb

( xi (t) in B | xi (t_0) = xi _0, << varvec>> (t_0) = j_0) & amp qquad (B in < mathcal > X, j_0 I, xi _0 X), end$

harada (t ge t_0 ge 0 ). İndi zəif və güclü bir versiyanın ( varPhi _i ) qabarıqlığı barədə iki fərqli fərziyyəni qeyd edirik.

Fərziyyə 4

(Güclü konveksiya) Hər (i in I ) üçün ( kappa _i in mathbb var ), ilə

( kappa _1 + cdots + kappa _N & gt 0 ) və hər ( theta _0 in X ) üçün bəzi məhdud (S in < mathcal > X ), (S ni theta _0 ), belədir

( kappa _1 = cdots = kappa _N & gt 0 ) (güclü).

Güclü versiyada, bütün potensialların ( < varPhi _i > _) güclü qabarıqdır. Zəif versiyada bəzi potensialların güclü konveksiyası kifayətdir, bununla yanaşı axınların heç birinin sonsuzluğa qaçmamasını da təmin etməliyik. Dəst Sprosesi tələyə saldığımız adlanır müsbət dəyişməz üçün (( varphi _i) _). Varsayım 4 (ii) içərisində vahid güclü qabarıqlıq, həqiqətən, hamı üçün belə bir çoxluğun mövcudluğunu nəzərdə tutur ((X the X da theta _0 ).

Hər iki fərziyyə 4 (i) və (ii) olduqca güclüdür. Daha əvvəl də qeyd etdiyimiz kimi, maşın öyrənməsində optimallaşdırma problemləri çox vaxt qabarıq deyil. Bununla birlikdə, bu işdə qabarıq optimizasiya problemlərinə diqqət yetiririk. Güclü konveksiya, məsələn, əlaqəli axınların dözərək müqavilə bağlamasını nəzərdə tutur:

Lemma 1

Bəzi (i in I ) üçün bərabərsizlik (14), uyğun axınların üst-üstə müqavilə verdiyini, yəni.

Sübut

Bunu Cloez and Hairer (2015) -də verilmiş Lemma 4.1 nəzərdə tutur. ( kvadrat )

Bu fonu nəzərə alaraq indi DGP-nin erqodikliyini araşdırırıq. Davamlı bir öyrənmə dərəcəsi ilə başlayırıq.

Daimi öyrənmə dərəcəsi

Fərziyyə 4 (i) altında SGP (( theta (t), << varvec>> (t)) _) misilsiz bir stasionar ölçüyə malikdir ( pi _ < mathrm > ) üzərində ((Z, < mathcal > Z): = (X dəfə I, < mathcal > X otimes 2 ^ I) ) və bu ölçüyə görə Wasserstein məsafəsində (< mathrm) _q> ). Markov prosesi dözərək müqavilə bağladığına görə Markov prosesi belədir həddən artıq erqodik. İndi bu nəticəni daha xüsusən bildiririk:

Teorem 3

2 və 4 (i) fərziyyələrinin yerinə yetirilməsinə icazə verin. Sonra, (( theta (t), << varvec>> (t)) _) misilsiz bir stasionar ölçüyə malikdir ( pi _ < mathrm > ) üzərində ((Z, < mathcal > Z) ). Üstəlik, ( kappa ', c & gt 0 ) və (q in (0, 1] )) mövcuddur

hər hansı bir (i_0 I də) və ( theta _0 in X ) üçün.

Bu teoremin sübutu 5-ci teoremin sübutu kimi oxşar sətirləri izləyir. Beləliklə, hər ikisini Məzhəbdə sübut edirik. 3.4. Teorem 3-də, q (13) -də təyin olunan və Wasserstein məsafəsinin bir hissəsi olan metriki (d ') təsir edir [( mathrm) _q ). Bu nəticə SGPC-nin stasionar rejiminə çox tez yaxınlaşdığını nəzərdə tutur. Teorem 3-dəki sabitlərin təxminləri üçün Benaïm et al. (2012). Stasionar ölçünün təyin edilməsi ( pi _ < mathrm > ) praktikada olduqca çətin ola bilər bax Costa (1990) və Durmus et al. (2018). Məzhəbdə ədədi təsvirlər veririk. 5.

Öyrənmə dərəcəsinin azalması

Bundan sonra, SGP-nin uzun müddətdir davam edən davranışını azalma ilə öyrənirik. Burada SGP-nin bəzi mücərrəd ehtimal ölçüsünə yaxınlaşması bizi daha az maraqlandırır. Bunun əvəzinə, SGPD-nin tam potensialın (< bar < varPhi >> ) minimumuna ( theta ^ * in X ) yaxınlaşmasını öyrənirik. Bu səbəbdən davranışlarını analiz etməyi hədəfləyirik

(t rightarrow infty ) kimi. Burada, Dirac ölçüsünün ( delta ( cdot - theta ^ *) ) nin SGPD-nin (t rightarrow infty ) kimi stasionar ölçüsü olmasını gözlədik. Bunu SGPC'nin tam gradyan axınına yaxınlaşdığı ( eta downarrow 0 ) olduğu Teorem 1 motivasiya edə bilər.

SGPD-nin iki cəhəti bu məsafənin təhlilinin SGPC ilə müqayisədə əhəmiyyətli dərəcədə daha çox olduğunu göstərir. Birincisi, müddətdə ədəbiyyatda çətin müzakirə olunan bir vəziyyət qeyri-bərabərdir. Bu məsələni həll etmək üçün aşağıdakı standart fikirdən istifadə edirik:

Homojen bir Markov zəncirini təyin edirik (( xi '(t)) _) genişləndirilmiş vəziyyət fəzasında (X times mathbb ) burada ((<< varvec.) keçid dərəcəsi matrisi>> (t)) _) zamandan deyil, (( xi '(t)) _ cari vəziyyətindən asılı olacaq) .

İkincisi, nisbət matrisi olaraq (t rightarrow infty ) olaraq B(t) diaqonal girişlərin degenerasiya etdiyi (- infty ), diaqonal girişlərin ( infty ). Bu iş, Cloez and Hairer (2015) və ya PDMP'ler ilə əlaqəli ədəbiyyatla əhatə olunmur - bildiyimiz qədər. Ancaq Teorem 1-də yaxından əlaqəli bir problemi müzakirə edirdik. Narahat test funksiyası nəzəriyyəsini tətbiq etmək üçün üç qat hərəkət tələb olunur:

Sərhəd keçid dərəcəsi matrisi ilə köməkçi bir Markov tullanma prosesini təyin edirik.

Bu Markov tullanma prosesinə əsaslanan PDMP-nin eksponent nisbətdə bənzərsiz bir stasionar ölçüyə yaxınlaşdığını göstərir.

Bu stasionar ölçünün istənilən dəqiqlikdə ( delta ( cdot - theta ^ *) ) yaxınlaşdığını göstəririk. Ayrıca, köməkçi PDMP'nin SGPD'ye yaxınlaşdığını göstəririk.

Nəhayət, aşağıdakı nəticəni əldə edəcəyik:

Teorem 4

2 və 4-cü (ii) fərziyyələrin yerinə yetirilməsinə icazə verin. Sonra,

hər hansı bir (j_0 I də) və ( xi _0 in X ) üçün.

Beləliklə, (t rightarrow infty ) olaraq, SGPD-nin ( xi (t) ) vəziyyəti zəif bir şəkildə tam hədəf funksiyasının minimum ( theta ^ * ) səviyyəsində cəmlənmiş Dirac ölçüsünə yaxınlaşır. (< bar < varPhi >> ).

Bu teoremi sübut etmək üçün indi (i) - (iv) pillələrini gəzirik. Bir neçə köməkçi nəticədən istifadə edərək 4-cü Teoremi sübut edə bilərik. (i) homojen bir resept. İndi SGPD-ni zamanla homojen bir şəkildə hazırlayırıq. Həqiqətən, (( xi '(t)) _ : = ( xi (t), tau (t)) _), ilə

və ((<< varvec>> (t)) _) keçid dərəcəsi matrisi var

Bu SGPD tərifinin orijinal Tərifimiz 1 (ii) ilə bərabər olduğunu asanlıqla görə bilərik. Bundan əlavə, dinamikanın ( < nabla varPhi _i > _ olacağı şəkildə təyin olunduğunu unutmayın.) fərziyyə 4 (i) (cavab. (ii)) ( <<< Psi >> _ i > _) də edir.

(ii) köməkçi bir PDMP. ( 0,1) daxilində ( varepsilon ) edək. PDMP (( xi _ varepsilon (t), << varvec>> _ varepsilon (t)) _) tərəfindən

burada Markov tullanma prosesi ((<< varvec.)>> _ varepsilon (t)) _) keçid dərəcəsi matrisi var (B_ varepsilon ( cdot): = B (- log ( tau _ varepsilon)). ) Diqqət yetirin - əksinə (B ( cdot) ) - bu keçid dərəcəsi matrisi (t rightarrow infty ) olaraq (B (- log ( varepsilon)) ) - a yaxınlaşır. Üstəlik, (( xi _ varepsilon (t)) _ Markov keçid nüvəsini təyin edirik.) tərəfindən ( mathrm ^ < varepsilon> _) .

(iii) köməkçi prosesin erqodluğu. Aşağıdakı teorema köməkçi prosesin (( xi _ varepsilon (t), << varvec) olduğunu göstərir.>> _ varepsilon (t)) _) misilsiz stasionar ölçüyə nisbi nisbətdə yaxınlaşır.

Teorem 5

2 və 4 (ii) fərziyyələrini saxlasın və ( varepsilon & gt 0 ) edək. Sonra, (( xi _ varepsilon (t), << varvec>> _ varepsilon (t)) _) unikal bir stasionar ölçüyə malikdir ( pi _ < varepsilon> ) on ((Z, < mathcal > Z) ). Hər hansı bir (j_0 I də) və ( xi _0 X də) üçün ( kappa ', c, c' & gt 0 ) ilə mövcuddur

Daha əvvəl də qeyd edildiyi kimi, Məzhəbə 5-ci Teoremin dəlilini veririk. 3.4. Qeyd edək ki, indi fərziyyə 4 (ii), yəni güclü versiyaya ehtiyacımız var.

(iv) Köməkçi prosesin zəif yaxınlaşması. Son ilkin addım köməkçi prosesin (( xi _ varepsilon (t)) _ olduğunu göstərməkdən ibarətdir.) SGPD-yə yaxınlaşır (( xi (t)) _). Üstəlik, müvafiq stasionar tədbirlər üçün də buna ehtiyac var.

Təklif 4

2 və 4-cü (ii) fərziyyələrin yerinə yetirilməsinə icazə verin. Sonra,

( alpha ': [0,1) rightarrow [0, infty) ) funksiyası var, 0-da fasiləsizdir və ( alpha' (0) = 0 ) təmin edir, belə ki

hər hansı bir (j_0 I, xi _0 X, t ge t_0 ge 0 ) üçün,

( alpha '': [0,1) rightarrow [0, infty) ) funksiyası var ki, 0-da fasiləsizdir və ( alpha '' (0) = 0 ) təmin edir.

Təklif 4-ün sübutu daha çox iştirak edir. Məzhəbdəki bir neçə köməkçi nəticə ilə birlikdə sübutlarımızı təqdim edirik. 3.5.

(İ) - (iv) bəndlərindəki nəticələr nəzərə alınaraq, əsas nəticəni sübut etməyə davam edə bilərik.

Teoremin sübutu 4

Qeyd edək ki, üçbucaq bərabərsizliyinə görə bizdə var

İndi 5 saylı Teoremi tətbiq edirik və əldə edirik

bəziləri üçün ( kappa ', c, c' & gt 0 ). Üstəlik, Təklif 4 ilə bağlaya bilərik

burada ( alpha ', alfa' ') 0 və ( alfa' (0) = alfa '' (0) = 0 ) nöqtələrində davamlıdır. Sonra var

Bu sərhəd istənilən ( varepsilon & gt 0 ) üçün olduğu üçün və Wasserstein məsafəsi aşağıda 0 ilə məhdudlaşdığına görə (< mathrm) nəticəsini əldə edirik. > _1 ( delta ( cdot - theta ^ *), mathrm _( cdot | xi _0, j_0)) rightarrow 0 ), (t rightarrow infty ) kimi. ( kvadrat )

Teorem 3 və Teorem 5-in sübutları

Theorem 3-ün sübutu PDMP-nin eksponent erqodikliyini nəzərdə tutan Cloez and Hairer (2015) əsərindəki 1.4 Teoremi fərziyyələrini göstərməklə davam edir. Eyni fərziyyələrə əsasən, Benaïm və digərlərinin Nəticə 1.11. (2012) dayanıqlı tədbirin özünəməxsusluğunu nəzərdə tutur. Aşağıda lazımi fərziyyələri bildiririk, sonra sübuta davam edirik.

Varsayım 5

Aşağıdakı üç fərziyyəni nəzərdən keçiririk:

proses ((<< varvec>> (t)) _) partlayıcı deyil, azaldır və pozitiv təkrarlanır,

fərqli gradyan axınlarını təmsil edən Markov ləpələri ( mathrm^ <(i)> _ t ( cdot | theta _0): = delta ( cdot - varphi _i ( theta _0, t)) ) orta hesabla ( mathrm _ < Vert cdot Vert> ), yəni hər iki ehtimal ölçüsü üçün ( pi, pi ') on ((X, < mathcal > X) ) qane edir

hər hansı bir (t & gt 0 ) və ( kappa _1 + cdots + kappa _N & gt 0 ) üçün və

Markov kernel ( mathrm_t ) sonlu ilk mütləq məqama malikdir, yəni.

üçün (t ge 0 ) və ( theta _0 in X ).

Teorem 3-ün sübutu

Varsayım 5 (i) sonlu çoxluqlardakı homogen fasiləsiz Markov proseslərinin standart xüsusiyyətləri ilə təmin edilir. Varsayım 5 (ii), fərziyyə 4 (i) tərəfindən nəzərdə tutulur, həmçinin Cloez və Hairer (2015) əsərindəki Lemma 2.2-nin sübutlarına baxın: G ( mathrm ( pi, pi ') ) və (H in mathrm bir birləşmə seçin ( pi mathrm^ <(i)> _ t, pi ' mathrm^ <(i)> _ t) ), belədir

Fərziyyə 4 (i) və Lemma 1-ə görə bizdə var

Beləliklə, həqiqətən Wasserstein məsafəsində tələb olunan müqaviləyə sahibik:

Kimi ( mathrm _q ( pi mathrm^ <(i)> _ t, pi ' mathrm^ <(i)> _ t) ) asılı deyil HG, nəhayət əldə edirik

Varsayım 5 (iii) ilə əlaqədar olaraq, fərziyyə 4 (i) dəki axınların sərhədliyini tətbiq edirik. ( kvadrat )

İndi Teorem 5-in sübutuna keçirik. Bu, Teorem 3-ün sübutuna bənzəyir: Benaïm et al.-Da lazımi nəticə 1.16 fərziyyələrini sübut etməyə əsaslanır. (2012). Bu fərziyyələri aşağıda qeyd edirik.

Varsayım 6

Aşağıdakı dörd fərziyyəni nəzərdən keçiririk:

bir ( kappa _1 & gt 0 ) var ki, hər (i in I ) üçün bizdə

keçid dərəcəsi matrisi (B _ < varepsilon> ) (< overline) olduğu mənasında məhduddur> & gt < altını çəkin> & gt 0 ), ilə

və bəzi (L & gt 0 ) var, ilə

Fərziyyə 6-nın fərziyyə 5-ə yaxından uyğun olduğunu unutmayın.

Teorem 5-in sübutu

Varsayım 6 (i), fərziyyə 4 (ii) ilə nəzərdə tutulur. Varsayım 6 (ii) - yə keçirik: Bu funksiyanın sərhədliliyi və Lipschitz davamlılığı, ( tau in ( varepsilon, 1] ) sərhədliyindən və ( mu ). 'Nin davamlı fərqliliyindən irəli gəlir. ( kvadrat )

Təklifin sübutu 4

Bu alt hissədə 4-cü təklifi sübut edirik. Əvvəlcə (( xi _ < varepsilon> (t)) _ zəif yaxınlaşmasını göstəririk. Rightarrow ( xi (t)) _) (11) mənasında. Bu nəticəni nəzərə alaraq ( alpha ') funksiyasını qura bilərik və beləliklə Təklif 4 (i) -ni sübut edə bilərik. Təklifin (ii) hissəsi (( xi _ < varepsilon> (t)) _ olduğunu göstərməyə əsaslanacaqdır.) Teorem 1-də müzakirə olunduğu kimi, altındakı qradiyent axınına yaxınlaşır.

Lemma 2

2 və 4-cü (ii) fərziyyələrin yerinə yetirilməsinə icazə verin. Sonra,

( varepsilon downarrow 0 ) kimi.

Sübut

ailə (( xi _ < varepsilon> (t)) _) ( varepsilon ) ilə əlaqəlidir,

hər hansı bir (T in (0, infty) ) və hər hansı bir test funksiyası üçün (f in C ') bir "narahat" test funksiyası var (f ^ < varepsilon>: [0, infty ) rightarrow mathbb ) , belə

Burada (C ') kompakt dəstəyi olan fasiləsiz funksiyaların boşluğunda (C ^ 0_c (Z') ) bərabər sıxdır.

Birincisi, generatorların tərəfindən verildiyini unutmayın

hər hansı bir (f: Z ' rightarrow mathbb üçün ) iki dəfə davamlı olaraq fərqlənən və sonsuzluqda yoxa çıxan detallara baxın, məsələn, Davis (1984). Burada, prosesləri başa düşürük (( xi (t), tau (t), << varvec>> (t)) _) və (( xi _ varepsilon (t), tau _ < varepsilon> (t), << varvec>> _ < varepsilon> (t)) _) Markov tullanma diffuziyaları kimi. (İ) içindəki sıxlıq, Varsayım 2-dəki qradiyentin sərhədliyindən irəli gəlir: Kushnerdəki Teorem 2.4-ə (1984) görə (və ya, məsələn, Billingsley 1999-da Teorem 7.3), (i1), (i2) olduğunu göstərməliyik. (( xi _ < varepsilon> (t)) _ ilə razıdır) :

Bütün ( eta _ * & gt 0 ) üçün (N, * in (0, infty) ) var, ilə

Hamısı üçün ( eta _ * & gt0 ), ( varepsilon _ * & gt0, < overline> & gt0 ) ( delta _ * & gt 0 ) və bir ((0, infty) ) içində bir (n_0 ) var

(i1) başlanğıc dəyəri ( xi _ < varepsilon> (0) ) ( mathbb

) -a.s. ( varepsilon & gt0 ) boyunca sabitdir. (İ2) sübut etmək üçün (( xi _ < varepsilon> (t)) _ olduğunu unutmayın.) var ( mathbb

) -a.s. demək olar ki, hər yerdə fərqlənən fasiləsiz yollar. (B alt qrup X ) ( mathbb ilə qapalı top olsun

( xi _ < varepsilon> (t) in B) = 1 ) ((t ge 0) ) bax Benaïm et al .dakı Lemma 1.14. (2012). (( Xi _ < varepsilon> (t)) _ törəməsi) bir qədər məhduddur

(( nabla varPhi _i) _ olaraq) davamlıdır. Vacibdir, L ( varepsilon ) - dan asılı deyil. Beləliklə, bizdə var