Astronomiya

Orbital çürümə sürətinin hesablanması

Orbital çürümə sürətinin hesablanması

Bilirik ki, ikili sistem birləşənə qədər təxmini vaxt belə verilir: $$ dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$ Bəs zaman vahidi üçün bir növ məsafə vahidində çürümə sürətini təyin edən düstur nədir? Həm də şərtlər nədir $ r $$ m_i $ yazılıb?


Bu, FasterThanLight-ın qapalı formalı həll tələbinə cavabdır. Bir şərhdə cavab verməyə çalışdım, amma çox uzun oldu.

Hər hansı bir t vaxtında iki ikili ulduz arasındakı məsafəni bilə bilərikmi?

ProfRob-un cavabından,

$$ frac {da} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5a ^ 3} $$

Qapalı forma həlli istəyirsinizsə, yuxarıdakıları diferensial tənlik kimi yenidən yaza bilərik

$$ a '= C_1a ^ {- 3} $$

harada sabit $ C_1 = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $. Zamanında ikili ulduzlar arasındakı məsafə $ t = 0 $ edir $ a_0 $, sonra $ a (0) = a_0 $ ilkin dəyərdir. Başlanğıc dəyəri ilə diferensial tənliyin həlli:

$$ a (t) = (a_0 ^ 4 + 4C_1t) ^ {1/4} $$

Beləliklə, qapalı forma həlli və ya t vaxtındakı ulduzlar arasındakı məsafə aşağıdakı şəkildə verilir:

$$ a (t) = left (a_0 ^ 4- dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} t right) ^ {1/4} $$

redaktə:

Qapalı forma həllinə də gələ bilərik $ a (t) $ bunu tanıyaraq $ tau a ^ 4 $, harada $ tau = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ birləşmək üçün bir geri sayma vaxtıdır, yəni vaxt artdıqca geri sayma vaxtı azalır. Bu at ikili sistem üçün deməkdir $ a_0 $ bəzi ilk vaxtlarda məsafə $ t = 0 $, alacaq $ tau a_0 ^ 4 $ birləşmə vaxtı. Beləliklə vaxt $ t = tau a_0 ^ 4 - tau a ^ 4 $ başlanğıc vaxtı və məsafəsi üçün artan vaxtı və azalan məsafəni düzgün təsvir edir. Bu cəbri tənliyi həll edin $ a $ almaq:

$$ a (t) = sol (a_0 ^ 4 - frac {t} { tau} sağ) ^ {1/4} $$

Bu, digər cavabımla bərabərdir, lakin daha sadə bir metoddan istifadə edir. ProfRob cavabında istifadə etdiyi eyni qeyddən məqsədli şəkildə istifadə etdim, amma cavablarımızın niyə fərqli olduğunu izah edə bilmirəm.


Dairəvi bir orbit üçün, orbit yarı böyük oxun dəyişmə sürətini yaza bilərsiniz $ a $ kimi $$ frac {da} {dt} = - frac {64 G ^ 3 (m_1 + m_2) m_1m_2} {5a ^ 3c ^ 5} . $$

Düsturdakı komponentlər istədiyiniz vahiddə yazıla bilər; əlbəttə ki, vahidlərini təyin edəcəkdir $ da / dt $.

Zamandan asılılığını istəyirsinizsə $ a (t) $, $ omega (t) $ ya da orbital dövrü $ T (t) $, bunlar (sadə inteqrasiya yolu ilə) $$ a (t) = a_0 sol (1 - frac {t} { tau} right) ^ {1/4} ,, $$ $$ omega (t) = omega_ {0} left (1 - frac {t} { tau} right) ^ {- 3/8} $$ $$ T = frac {2 pi} { omega} = T_0 sol (1 - frac {t} { tau} right) ^ {3/8} ,, $$ harada $ tau $ başladığınız və alt sətrin dəyərlərinə istinad etdiyi orijinal birləşmə zaman ölçüsüdür $ t = 0 $.


ProfRob-un cavabına addım-addım çatmağın bir yolu:

$$ t = dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$

Bütün sabit şərtləri bir yerə toplasaq:

$$ C = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$

sonra problem birdən daha sadə görünür:

$$ t = r ^ 4 C $$

$$ frac {dt} {dr} = 4r ^ 3 C $$

$$ frac {dr} {dt} = frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $$

$ dt $ nə qədərdir daha uzun başlanğıc radiusu olduğu təqdirdə sistem yaşayacaqdır artdı tərəfindən $ dr $. Bilirik ki, çürüməyə baxsaq, vahid vaxt başına düşmə nisbəti $ dr / dt $ mənfi olacaq, buna görə mənfi işarəni əlavə edəcəyik.

İndi yenidən birləşdirin:

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $$

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $$

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {r ^ 3} dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $$

$$ frac {dr} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5r ^ 3} $$

Qravitasiya sabitliyi ilə $ G = 6.674 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ {3} text {kg} ^ {- 1} text {s} ^ {- 2} $ işığın sürəti $ c = 2.997 times 10 ^ {8} text {m / s} $ günəş kütləsi olan hər bədən $ M _ { text {Sol}} = 1.9885 times 10 ^ {30} text {kg} $ və bir milyon kilometrə yaxın bir hissə $ r = 1 times 10 ^ {9} text {m} $, sonra $ C = 1.0102 times 10 ^ {- 20} $ və dərəcəsi $ dr / dt = -2.4748 times 10 ^ {- 8} text {s} ^ {- 1} $ və ya ildə -78 santimetr.


Videoya baxın: كيفية حساب الدرجة و معرفة الوحدات المحصلة من التقادير (Sentyabr 2021).